高二数学（必修二）一元函数的导数及其应用练习题及答案.docx

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高二数学（必修二）一元函数的导数及其应用练习题及答案

一、单选题

1．降低室内微生物密度的有效方法是定时给室内注入新鲜空气，即开窗通风换气.在某室内，空气中微生物密度（c）随开窗通风换气时间（t）的关系如下图所示.则下列时间段内，空气中微生物密度变化的平均速度最快的是（????）

A． B． C． D．

2．某跳水运动员离开跳板后，他达到的高度与时间的函数关系式是（距离单位：米，时间单位：秒），则他在0.25秒时的瞬时速度为（??）

A．6.75米/秒 B．6.55米/秒 C．5.75米/秒 D．5.55米/秒

3．若过点可以作曲线的两条切线，则（????）

A． B． C．D．

4．已知，则（????）

A．0 B． C．2 D．

5．函数在点处切线方程为（????）

A． B． C． D．

6．下列求导运算过程中，正确的是（????）．

A． B．

C． D．

7．当时，不等式成立.若，则（????）

A． B． C． D．

8．已知过点不可能作曲线的切线．对于满足上述条件的任意的b，函数恒有两个不同的极值点，则a的取值范围是（????）

A． B． C． D．

二、多选题

9．已知点，在函数的图像上，若函数从到的平均变化率为，则下面叙述正确的是（????）

A．曲线的割线AB的倾斜角为

B．曲线的割线AB的倾斜角为

C．曲线的割线AB的斜率为

D．曲线的割线AB的斜率为

10．（多选）下列说法中错误的是（????）

A．若不存在，则曲线在处没有切线

B．若曲线在处有切线，则必存在

C．若存在，则曲线在处的切线的斜率存在

D．若曲线在处的切线的斜率不存在，则曲线在该点处没有切钱

11．给出定义：若函数在上可导，即存在，且导函数在上也可导，则称在上存在二阶导函数，记，若在上恒成立，则称在上为凸函数．以下四个函数在上不是凸函数的是（????）

A． B．

C． D．

12．已知函数，其中实数，则下列结论正确的是（）

A．必有两个极值点

B．有且仅有3个零点时，的范围是

C．当时，点是曲线的对称中心

D．当时，过点可以作曲线的3条切线

三、填空题

13．函数在其图象上的点处的切线方程为________．

14．设点是曲线上任意一点，直线过点与曲线相切，则直线的倾斜角的取值范围为______.

15．已知函数是定义在上的可导函数，其导函数为，若，且对任意的恒成立，则不等式的解集为________．

16．已知函数则函数的零点个数为___________．

四、解答题

17．在受到制动后的t秒内一个飞轮上一点P旋转过的角度(单位：弧度)由函数φ(t)＝4t－0.3t2(单位：秒)给出.

（1）求t＝2秒时，P点转过的角度；

（2）求在2≤t≤2＋Δt时间段内P点转过的平均角速度，其中①Δt＝1，②Δt＝0.1，③Δt＝0.01.

18．已知函数.

(1)当时，函数的图像上任意一点处的切线斜率为，若，求实数的取值范围；

(2)若，求曲线过点的切线方程.

19．求下列函数的导函数：

(1)

(2)

(3)

20．已知函数，在处取得极小值．

(1)求函数的解析式；

(2)求函数的极值；

(3)设函数，若对于任意，总存在，使得，求实数a的取值范围．

21．已知函数．

(1)若，求函数的单调区间；

(2)若，且在区间上恒成立，求a的取值范围；

(3)若，判断函数的零点的个数．

22．已知函数和函数有相同的最大值，直线与两曲线和恰好有三个交点，从左到右三个交点横坐标依次为.

(1)求实数的值；

(2)求证：.

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参考答案

1．C

2．D

3．B

4．D

5．C

6．A

7．D

8．A

9．BC

10．ABD

11．AD

12．ABD

13．

14．

15．

16．5

17.解析(1)当t＝2时，φ(2)＝4×2－0.3×22＝8－1.2＝6.8(弧度).

(2)∵＝

＝

＝4－1.2－0.3Δt＝2.8－0.3Δt，

∴①当Δt＝1时，平均角速度为＝2.8－0.3×1＝2.5(弧度/秒)；

②当Δt＝0.1时，平均角速度为＝2.8－0.3×0.1＝2.77(弧度/秒)；

③当Δt＝0.01时，平均角速度为＝2.8－0.3×0.01＝2.797(弧度/秒).

18．（1）函数的导数为，

由题意可得当时，恒成立，

即有，由勾函数的性质知，

函数在和上单调递增，在和上单调递减，

所以，即有，则，

所以a的取值范围是.

（2）函数的导数为，

设切点为，则，在处的斜率为，

即有切线方程为，

将代入可得，

整理可得，解得或，

即有所求切线的方程为或，

即或.

19．（1），

.

（2），

.

（3），

，