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中考数学综合提高训练

第一部分 函数图象中点的存在性问题

因动点产生的相似三角形问题

例1 如图1，已知抛物线y

1 1

x2 (b 1)x

b（b是实数且b＞2）与x轴的正半轴分别交于点

4 4 4

A、B（点A位于点B是左侧），与y轴的正半轴交于点C．

点B的坐标为 ，点C的坐标为 （用含b的代数式表示）；

请你探索在第一象限内是否存在点P，使得四边形PCOB 的面积等于2b，且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；

请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q，使得△QCO、△QOA 和△QAB中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．

满分解答

（1）B的坐标为(b,0，)

图1

点C的坐标为(0,b)．

4

如图2，过点P作PD⊥x轴，PE⊥y轴，垂足分别为D、E，那么△PDB≌△PEC．因此PD＝PE．设点P的坐标为(x,x．)

如图3，联结OP．

所以S

＝S ＋S

＝1 bx

1 bx

5bx＝2b．

四边形PCOB

△PCO

△PBO

2 4 2 8

16 1616

解得x ．所以点P的坐标为( , )．

5 5 5

由y

1x2 1(b 1)x

图2 图3

b 1(x1)(x b)，得A(1,0，)OA＝1．

4 4 4 4

①如图4，以OA、OC为邻边构造矩形OAQC，那么△OQC≌△QOA．

当BA QA

QA OA

b

，即QA2 BAOA时，△BQA∽△QOA．

所以()2 b 1．解得b 8 4

4

．所以符合题意的点Q为(1,2 )．

33②如图5，以OC为直径的圆与直线x＝1交于点Q，那么∠OQC＝90°。因此△OCQ∽△QOA．

3

3

当BA QA

QA OA

时，△BQA∽△QOA．此时∠OQB＝90°．

所以C、Q、B三点共线．因此BO QA，即b QA．解得QA 4．此时Q(1,4．)

CO OA b 1

4

考点伸展

图4 图5

第（3）题的思路是，A、C、O三点是确定的，B是x轴正半轴上待定的点，而∠QOA 与∠QOC 是互余的，那么我们自然想到三个三角形都是直角三角形的情况．

这样，先根据△QOA 与△QOC 相似把点Q的位置确定下来，再根据两直角边对应成比例确定点B的位置．

如图中，圆与直线x＝1的另一个交点会不会是符合题意的点Q呢？

如果符合题意的话，那么点B的位置距离点A很近，这与OB＝4OC矛盾．

例2如图1，已知抛物线的方程C1：y 1(x 2)(x m)(m＞0)与x轴交于点B、C，与y轴交于点E，

m

且点B在点C的左侧．

若抛物线C1过点M(2,2，)求实数m的值；

在（1）的条件下，求△BCE的面积；

在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使得BH＋EH最小，求出点H的坐标；

在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．

解答

将M(2,2代)入y

图1

1(x 2)(x m)，得2 1

4(2 m)．解得m＝4．

m m

当m＝4时，y

1(x 2)(x 4)

1x2

1x 2．所以C(4,0，)E(0,2．)

4 4 2

所以S ＝1BC OE 1 6 2 6．

△BCE 2 2

如图2，抛物线的对称轴是直线x＝1，当H落在线段EC上时，BH＋EH最小．

设对称轴与x轴的交点为P，那么HP EO．

CP CO

因此HP 2．解得HP 3．所以点H的坐标为 3．

(1,)

3 4 2 2

①如图3，过点B作EC的平行线交抛物线于F，过点F作FF′⊥x轴于F′．

由于∠BCE＝∠FBC，所以当CE BC

CB BF

，即BC2 CE BF时，△BCE∽△FBC．

1(x 2)(x m)

设点F的坐标为(x,

1(x 2)(x m))，由FF EO

，得m 2．

m BF CO x 2 m

(m 4)m2 4解得x＝m＋2．所以F′(

(m 4)m2 4

由CO BF m m 4

由

m2 4，得 ．所以BF ．

m2 4

(m 4)

(m 4)m2 4

m2 4由