复变函数与积分变换课件(南昌大学).ppt

几何意义将复数z1按逆时针方向旋转一个角度Argz2，再将其伸缩到|z2|倍。定理1可推广到n个复数的乘积。oxy(z)z1z2z2例：设则：即k=m+n+1则有等式Arg(z1z2)=Argz1+Argz2的意思是等式的两边都是无限集合,两边的集合相等,即每给定等式左边的一个数,就有等式右边的一个数与之对应,反之亦然.;按照乘积的定义,当z1?0时,有定理2两个复数的商的模等于它们的模的商,两个复数的商的辐角等于被除数与除数的幅角之差.练习：解设z=reiθ，由复数的乘法定理和数学归纳法可证明zn=rn(cosnθ+isinnθ)=rneinθ。2.复数的乘幂定义n个相同的复数z的乘积，称为z的n次幂，记作zn，即zn=z?z???z（共n个）。定义特别：当|z|=1时，即：zn=cosnθ+isinnθ，则有(cosθ+isinθ)n=cosnθ+isinnθ一棣模佛(DeMoivre)公式。问题给定复数z=rei?，求所有的满足ωn=z的复数ω。3.复数的方根（开方）——乘方的逆运算当z≠0时，有n个不同的ω值与相对应，每一个这样的ω值都称为z的n次方根，当k=0，1，…，n-1时，可得n个不同的根，而k取其它整数时，这些根又会重复出现。几何上，的n个值是以原点为中心，为半径的圆周上n个等分点，即它们是内接于该圆周的正n边形的n个顶点。练习：计算[解]因为所以即四个根是内接于中心在原点半径为21/8的圆的正方形的四个顶点.1+iw0w1w2w3Oxy1.区域的概念邻域复平面上以z0为中心，任意δ0为半径的圆|z-z0|δ(或0|z–z0|δ)内部的点的集合称为点z0的δ（去心）邻域。记为Ｕ(z0,δ)即，§1.4复平面上的点集内点:对任意z0属于E，若存在Ｕ(z0,δ)，使该邻域内的所有点都属于E，则称z0是E的内点。设E是一平面上点集聚点与孤立点陆启铿(1927-2015):中国科学院院士.主要从事多复分析,数学物理研究.获得华罗庚数学奖.50年代引入了Schwarz解析不变量的概念;与华罗庚合作建立了典型域上调和函数的系统理论。1966年提出了陆启铿猜想。70年代指出物理上规范场与数学上的主纤维丛的联络的关系,证明杨振宁的规范场的积分定义等价于沿一曲线的平行移动;在有界域解析映照的固有微分的估值研究方面取得重要成果.杨乐:中国科学院院士.在函数模分布论、辐角分布论、正规族等方面的研究成果突出获得华罗庚数学奖和陈省身数学奖。萧荫堂（Yum-TongSiu）哈佛大学教授，是目前世界上最一流的数学家之一。主要从事复几何与代数几何的研究。曾获得美国国家科学院院士，并在国际数学家两次大会主讲。复变函数论的应用复变函数论其它学科得到了广泛的应用，有很多复杂的计算都是用它来解决的。如物理学上有很多不同的稳定平面场的计算。俄国的茹柯夫斯基用复变函数论解决了飞机机翼的结构问题，在运用复变函数论解决流体力学和航空力学方面的问题上也做出了贡献。复变函数论在数学领域的许多分支也都应用了它的理论。它已经深入到微分方程、积分方程、概率论和数论等学科，对它们的发展很有影响。数学中的一朵奇葩就像微积分的直接扩展统治了十八世纪的数学那样，复变函数这个新的分支统治了十九世纪的数学。当时的数学家公认复变函数论是最丰饶的数学分支，并且称为这个世纪的数学享受，也有人称赞它是抽象科学中最和谐的理论之一。《复变函数》是数学所有专业的核心基础课程,理工科学生必须掌握的数学学科。第一章复数与复变函数§1.1复数及其运算定义对任意两实数x、y,称z=x+iy或z=x+yi为复数。1.复数的概念虚数单位的特性:……一般,任意两个复数不能比较大小。复数z的实部Re(z)=x;虚部Im(z)=y.(realpart)(imaginarypart)复数的模判断复数相等注意：例1解令定义z1=x1+iy1与z2=x2+iy2的和、差、积和商为：