一节不定积分定义性质.pptx

第一节不定积分的定义和性质一、原函数与不定积分的概念二、基本积分表三、不定积分的性质四、小结

例定义：一、原函数与不定积分的概念如果在区间Ｉ内

原函数存在定理：简言之：连续函数一定有原函数.问题2：原函数是否唯一？例（Ｃ为任意常数）问题3：原函数之间有什么联系？问题1：f(x)具备什么条件时，原函数一定存在？答案：不唯一.

关于原函数的两点说明：（1）若，则对于任意常数，（2）若和都是的原函数，则（为某个常数）证定理：若F(x)是f(x)的一个原函数，则f(x)的任意一个原函数可表示为：其中C为任意常数。f(x)的全体原函数为：

任意常数积分号被积函数不定积分的定义：被积表达式积分变量如果F(x)是f(x)在I上的其中一个原函数，则简单地说：不定积分表达的是函数的任意一个原函数。

例1求解解例2求

例3求解注意：×

例4设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.解设曲线方程为根据题意知由曲线通过点（1，2）所求曲线方程为xy011·2

不定积分的几何意义每个原函数y=F(x)在几何上都对应一条确定的曲线，称为f(x)的积分曲线由于F?(x)=f(x)，因此，积分曲线y=F(x)在点x处的切线斜率正是f(x)。不定积分y=F(x)+Ｃ在几何上代表一簇积分曲线，它们可通过曲线y=F(x)沿y轴方向上或下移动Ｃ个单位而得到。

xy012-1-2在同一点x对应的积分曲线簇上，切线平行若给定平面上一个点·则能唯一确定一条通过该点的积分曲线。

二、不定积分的性质（一）求不定积分与求导数或微分互为逆运算（1）（2）（三）（二）不为0的常数因子，可以移到积分号前,

书例4

实例注记:由于积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式导出相应的积分公式.三、基本积分表

基本积分表?是常数);

举例例5求积分解

例6求积分解

例7求积分解：先变形，再用基本积分表

例8求积分解

例9求积分解说明：以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形，才能使用基本积分表.

书例8.求解:原式=

书例9求积分

书例10.求解:原式=书例11

解所求曲线方程为

基本积分表(1)不定积分的性质原函数的概念：不定积分的概念：求微分与求积分的互逆关系四、小结

（2）有理分式和三角函数的恒等变形；（1）熟记基本积分公式；计算不定积分时有两点要加强：基本积分表中没有的积分类型，有时可以先将被积函数变形，化简为表中所列类型后，再逐项积分。

思考与练习1.证明2.若提示:

3.若是的原函数,则提示:已知

4.若的导函数为则的一个原函数是().提示:已知求即B??或由题意其原函数为

5.求下列积分:提示:

作业习题4?1:3(2,6,7,8,9，10),5,7