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Maxwell-Boltzmann，Bose-Einstein和Fermi-Dirac

三种统计力学的比较

微正则，正则和巨正则三种系宗的比较

顾钰

P

1.1Maxwell-Boltzmann，Bose-Einstein和Fermi-Dirac的

粒子组成

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波尔兹曼系统又称局域系统。由于粒子是可以分辨的，

系统部遵循全同性原理，也不需要遵循泡利不相容原理。系

统的波函数可以表示为各个单粒子波函数的乘积

描述这种系统的微观状态需给出每个粒子所处的单粒子态

)。例如，在固体的晶格振动中，需给出每个

粒子的振动量子数。就统计的角度而言，它与经典统计没有

本质上的区别。

费米系统和玻色系统的状态用波函数描写，粒子可以以

一定的概率处在系统的某个可能的空间围，统称为非局域

系。非局域系中的全同粒子是不可分辨的，系统必须遵守全

同性原理，任何两个粒子交换后系统不产生新的量子态，系

统的波函数或是对称的或是反对称的。

由系统的反对称性，很容易证明系统服从泡利不相容原

理。

由全同的自旋为零或整数的粒子所组成的系统叫做玻

色系统，玻色系统的波色函数是对称的。对于两个玻色子的

系统，波函数为

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..

对于由N个玻色子组成的系统，因为玻色系统不遵守泡利不

相容原理，可以有任意多的玻色子占据相同的量子态。设N

个玻色子中有个处于态，个处于态…..,的和满足

条件其中，可以为0或者正整数。系统的波函

数可以表示为

由全同的自旋为半整数的费米子组成的系统叫做费米系

统，两个费米子系统的波函数是反对称的，它可以写成一

个行列式形式，称为Slater行列式

=

对于N个费米子系统，N个费米子处在态上，系

统的反对称波函数可用Slater行列式表示

=

=

...

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1.2最概然分布

波尔兹曼分布给出了系统处于平衡态

时占据能级上的粒子数。能级有个量子态，所以处在

一个能量为的量子态的平均粒子数

==

拉格朗日未定乘子由

N=

E==

确定，式中表示对能级l求和，表示对量子态s求和。

玻色分布

拉格朗日乘子由宏观条件