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《高等代数》教学大纲
一、课程基本信息
课程编码:061104B/5B062104B/5B
中文名称:高等代数1/2
英文名称:AdvancedAlgebra1/2
课程类别:专业基础及核心课
总学时:165
高等代数1:90学时(理论76,实践14)
高等代数2:75学时(理论64,实践11)
总学分:9
高等代数1:5
高等代数2:4
适用专业:数学与应用数学、信息与计算科学
先修课程:数学分析1、空间解析几何
二、课程的性质、目标和任务
高等代数是数学与应用数学专业重要的基础课程之一,是理论性、
应用性很强的一门基础课。通过本课程的教学,使学生对高等代数乃
至代数学的思想和方法有较深刻的认识,提高学生的抽象思维、逻辑
推理和运算能力;以及应用数学知识建立数学模型解决实际问题的能
力;使学生初步掌握基本的、系统的代数知识和抽象的、严格的代数
方法,进而加深对中学代数的理解;进一步理解具体与抽象、特殊与
一般、有限与无限等辨证关系,为学生学习数学学科后续课程(如抽
象代数、离散数学、数值分析、常微分方程、泛函分析、运筹学等)
提供必要的基础理论知识;为学生在创新能力培养等方面获得重要的
平台。
高等代数主要包括多项式理论和线性代数两部分。其中,多项式
理论包括一元多项式理论和多元多项式理论;线性代数包括行列式、
线性方程组、矩阵、二次型、线性空间、线性变换、矩阵、欧氏空间
和双线性函数。
考虑到数学与应用数学专业学生的应用和拓展提高,对对称多项
式、若尔当标准形作了必要的要求。并要求对拉普拉斯定理、分块矩
阵的初等变换和复数域上的内积空间(主要包括酉矩阵和埃尔米特矩
阵)虽然讲授,但把重点放在应用上面,删除了二元高次方程组内容。
特征值和特征向量是重中之重,要让矩阵的特征值和特征向量与线性
变换的特征值和特征向量这两驾马车并驾齐驱,直接深入到线性变换
(矩阵)多项式、线性变换(矩阵)的逆变换(矩阵)以及伴随矩阵
的特征值和特征向量。
本课程分两个学期开设,高等代数1在第二学期开设,高等代数
2在第三学期开设。
三、课程教学基本要求
1、习题课—教师应进行典型问题分析,方法总结,难题讲解,
与学生黑板演题相结合,训练学生的逻辑思维能力,解题能力和思维
严密性。
2、习题作业—每次课后要配以一定量的书面习题作业。作业每
周批改一次。
3、教学辅导—要求教师答疑辅导。
4、作业布置:课后作业正题基本全布置,补充题由教师按具体
情况给部分优秀学生布置。
5、作业批改:按学院统一要求。
四、课程教学内容及要求
第一章多项式(20学时)
【教学目标与要求】
1、教学目标:
多项式内容是学习高等代数其他内容的基础,本章主要学习一元
多项式与多元多项式内容。通过本章内容的学习,使学生应理解数域、
一元多项式、整除的概念、最大公因式和最小公倍式、因式分解定理、
重因式、多项式函数、复系数与实系数多项式的因式分解、有理系数
多项式、多元多项式、对称多项式等概念和知识,为以后各章学习打
下基础。
2、教学要求:
1)掌握数域的定义,并会判断一个代数系统是否是数域;知道
有理数域是最小的数域,而复数域是最大的数域,如果以包含关系论
大小,这两个数域是所有数域的下界和上界。
2)理解数域P上一元多项式的定义,会确定多项式的各项次数
和首项,多项式的加法、减法和乘法;知道乘积的首项等于首项的乘
积,理解多项式乘法的消去律;掌握加法和乘法的交换律和结合律以
及乘法对加法的分配律。
3)理解整除的定义,熟练掌握带余除法和整除的性质。
4)理解和掌握两个(或若干个)多项式的最大公因式,互素等概念
及性质。能用辗转相除法求两个多项式的最大公因式。理解两个多项
式的最小公倍式的概念,掌握最小公倍式与最大公因式之间的关系。
5)理解和掌握不可约多项式的定义及性质。深刻理解因式分解
及唯一性定理。掌握多项式的标准分解式,并会用标准分解式求两个
多项式的最大公因式和最小公倍式。
6)正确理解和重因式的定义,掌握重因式定理及其推论,会用
辗转相除法求多项式的重因式。
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