新三第16讲 巧数线段.docx

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巧数线段

从上海到广州，除起点站和终点站外还有8个中间站。如果你是从上海到广州T××次列车的列车长，那么，你认为从上海到广州，铁路站要为这趟列车准备多少种车票才?合适

这个问题乍一看好像很复杂，但仔细想来其实很简单。从上海到广州需要准备多少种车票，就要看从上海到广州有多少条线段。因为即使路程相同，卖的票价相同，但如果所属的线段不同，如CD和GH，虽然它们都是89千米，但CD是从××站到××站，GH是从××站

到××站，因此，它们也需要准备不同的车票。这样，铁路站要为列车准备多少种不同的车票，就转化为从A到J到底有多少条线段。

从A到B到底有多少条线段，主要有三种数的方法（：1）线段端点法；（2）基本图形数量法；（3）分类法。在下面的练习中，同学们会依次尝试这三种方法。

当然，在反复尝试的过程中，细心的同学应该总结发现以下规律：线段的总条=数（点数–1）+（点数–2）+（点数–3）+…+2+1=点数×（点数–1）÷2

【例1】数一数，图中共有多少条线段? 分析按照一定的顺序从左往右数：

以A点为共同端点的线段有AB、AC、AD、AE、AF 5条；

以B点为共同左端点的线段有BC、BD、BE、BF 4条；以C点为共同左端点的线段有CD、CE、CF 3条：

以D点为共同左端点的线段有DE、DF 2条；以F点为共同左端点的线段有EF1条。

即可算出总条数。

〖即学即练1〗数出下面各条线上线段的总条数。

【例2】一个圆的圆周上共有16个点：P、P

1

连成多少条线段?

、P 、P

2 3

、…、P

4

、P

15 16

。那么这些点可

分析图中任意两个点都可以连成一条线段但，由于这道题的点数很多，如果在圆上将所有的线段画下来将会很麻烦，这就需要研究规律：

先研究P

，P分别与P 、P

1 1 2

、P。、…、P。P，。各连成1条线段，可连15条线段；

3

P 分别与P 、P

2 3

、…、P 、P

4 15

。各连成1条线段，可连14条线段；

16

同理，P

3

可连13条线段；……；P

14

可连2条线段；P

15

可连1条线段。即可算出总条数。

〖即学即练2〗下图是一个椭圆，椭圆上共有7个点，每两个点连一条线段，一共可连多少条线段?

【例3】数一数，下图中共有多少个角?

分析将原图中的基本角写上序号，变为图①。只含有一个基本角的有4个：①、②、③、④。含有两个基本角的有3个：①②、②③、③④；

含有三个基本角的有2个：①②③、②③④；含有四个基本角的有1个：①②③④。

即可算出总个数。

〖即学即练3〗数一数，下图中各有多少个角?

【例4】右边的图形中有多少个三角形?分析规定△边长为1。

边长为1：1+2

边长为1：1

+

2

+

3+

4

=10

边长为2：1

+

2

+

3=

6

边长为3：1

+

2

=

3

边长为4：1

20个

6再数倒三角形：边长为1：1+2+3=

6

边长为2：1 7个

即可算出总个数。

〖即学即练4〗数一数，下图中各有多少个三角形?

【例5】数一数，右图中共有多少个长方形?

分析如下图所示，所以（1+2）×（1+2）=9（个）。

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〖即学即练5〗数一数，下图中各有多少个长方形?

【例6】数一数，下图中有多少条线段?多少个三角形?

分析（1）这个图是由AB和CD两条线段组成的，其中线段AB上有三个端点，所以线段数有

2+1=3（条）；线段CD上有5个端点，所以线段数有4+3+2+1=10（条）。

（2）这个图形共分三层，每层都有2+1=3（个）三角形。

〖即学即练6〗（1）下图中各有多少条不同的线段?

（ ）条 （ ）条

（2）下图中分别有多少个三角形或长方形?

（ ）个三角形 （ ）个长方形

【例7】如图所示，PQ=12厘米，A．B、C、D、E把PQ平均分成6份，那么图中不小于6

厘米的线段共有多少条?

分析问图中的线段不小于6厘米的线段，那么每条线段至少应该包括3个基本线段：以P为端点至少包括3个基本线段的线段有PC、PD、PE、PQ 4条；

以A为端点至少包括3个基本线段的线段有AD、AE、AQ 3条；以B为端点至少包括3个基本线段的线段有BE、BQ 2条；

以C为端点至少包括3个基本线段的线段有CQ 1条。即可算出总条数。

〖即学即练7〗（1）假设图中每一个小正方形的面积都为1，图中面积不小于4的长方形有多少个?

（2）图中含有Q点的