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高二数学竞赛试题及答案

高二年级学科知识竞赛数学试卷

第I卷〔选择题〕

一、填空题〔本大题共12小题，每题5分，共60分〕

1．命题方程表示焦点在轴上的椭圆，则使命题成立的充分不必要条件是

A．B．C．D．

2．已知集合，，则〔〕

A．B．C．D．

3.假设数列满足，则其前10项和为〔〕

A．B.C.D.

4．已知双曲线的离心率为，左顶点到一条渐近线的距离为，则该双曲线的标准方程为〔〕

A．B．C．D．

5．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则以下命题正确的选项是〔〕

①假设，则；②假设，则；

③假设，则；④假设，则.

A.①②B.③④C.①③D.②④

6.设，则以下恒成立的是〔〕

A.B.C.D.

7．已知函数〔，，〕的部分图像如下列图，则函数的解析式为〔〕

A．B．

C．D．

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8．正方体中，是的中点，为底面的中心，为棱上的任意一点，则直线与直线所成的角为〔〕

A.B.C.D.与点的位置有关

9．一只蚂蚁从正方体的顶点处出发，经正方体的外表，按最短路线爬行到达顶点位置，则以下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图是〔〕

A.①②B.①③C.③④D.②④

10．函数的图象是〔〕

A．B．C．D．

11.设点分别为椭圆的左右焦点，为右准线，假设在椭圆上存在点M，使，，点M到的距离成等比数列，则椭圆的离心率的取值范围是〔〕

A.B.C.D.

12．已知全集，集合，集合的补集所对应区域的对称中心为，点是线段上的动点，点是轴上的动点，则周长的最小值为〔〕

A．B．C．D．

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第II卷〔非选择题〕

二、填空题〔本大题共4小题，每题5分，共20分〕

13.已知向量eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(AC,\s\up6(→))的夹角为120°，且|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝2，|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝3.假设eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))，且eq\o(AP,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→))，则λ=.

14．正数满足，则的最小值为.

15.设为等差数列的前n项之和，，则.

16．对于函数，有以下4个命题：

①任取，都有恒成立；

②，对于一切恒成立；

③函数有3个零点；

④对任意，不等式恒成立.

则其中所有真命题的序号是.

三、解答题〔本大题共6小题，共70分〕

17.〔10分〕已知，设命题：函数在区间上与轴有两个不同的交点；命题：有最小值.假设是真命题，求实数的取值范围.

18．〔12分〕如下列图，已知二面角α-MN-β的大小为60°，菱形ABCD在面β内，A，B两点在棱MN上，∠BAD＝60°，E是AB的中点，DO⊥面α，垂足为O.

(1)证明：AB⊥平面ODE；

(2)求异面直线BC与OD所成角的余弦值．

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19．〔12分〕如下列图，在中,点为边上一点，且为的中点,.

〔1〕求的长；

〔2〕求的面积.

20．〔12分〕设函数是定义域为的奇函数；当时，．

〔1〕当时，求；

〔2〕对任意的，不等式都成立，求的取值范围．

21、〔12分〕已知椭圆的两个焦点为，且椭圆与直线相切.

=1\*GB2⑴求椭圆的方程；

=2\*GB2⑵过作互相垂直的直线，与椭圆分别交于及，求四边形面积的最大值和最小值.

22．〔12分〕已知数列的前项和为，对任意满足，且，数列满足，其前9项和为63．

〔1〕