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贝塞尔曲线

一：样条曲线：

样条是一种绘图工具，在没有CAD的年代里，人们就是使用这东西对飞机，

轮船进行造型设计的。它是用明胶或别的材料做成的细长条，有弹性，容易弯曲。

绘图时，绘图员事先在图纸上画出一系列的控制点，然后使用压铁，让样条通过

或逼近这些控制点，然后沿着样条画出一条光滑曲线来。因为样条具有弹性和可

弯曲性，所以它产生的曲线的曲率的变化是渐进的，不会突然弯的很厉害，要是

弯得过度，它也许就会折断了！

后来，有了计算机，有了CAD。人们需要在计算机中也建立一种类似样条

的工具来进行建模。（嘿嘿，，这只是俺的猜测。依据是20世纪60年代被COONS

和Bezier等大师奠定了计算机辅助几何设计的理论基础）。好象只要人类想干什

么事，那么这件事就会被干成一样，样条曲线很自然地就出现了。我们从这里也

能够看到数学真得好象无所不能，这一次它为我们模拟了一个样条！

通常所用的样条曲线是三次的。这样它在控制点处的曲率是连续的，因为三

次曲线的1阶导数连续，2阶导数也连续，学过高数的人都应该能明白这样曲率

就是连续的，这就意味着控制点处曲率连续！所以样条曲线展示给我们的是一种

光滑的优美！（曲率是什么？推荐看一下同济四版的高等数学第207页，俺也是

现看的！我说过，要辐射学习，遇到不明白的地方就翻翻书，不解决就不要再进

行下面的学习！！！）

二：贝塞尔曲线

给定一组控制点，我们很自然地想用一条曲线来穿过这些型值点（型值点也就是

曲线应该通过的点），因为大家初中时画函数图像就善用描点法！这种方式叫做

插值。这样给定的控制点数量越多，我们做的曲线就会越精确。既然这样，我们

为什么还要发明Bezier啊，B样条啊什么的呢？就因为它太要求精确了，以致曲

线上有一个点变动了，它为了要兼顾着要穿过而且必须穿过其他的点，那么曲线

的原有形状就会发生不可预测的变化！！！这样的曲线在交互式CAD中是通常是

无法修改的，只能一次成功。（不信的话，你就找个有弹性的钢丝试试吧）

所以插值做成的曲线不适于CAD系统。1962年，法国人Bezier（咱们的祖师爷）

构造了一种以逼近为基础的参数曲线，我们可以使用一些控制点来对欲通过的型

值点进行逼近，这样我们可以通过修改几个参数就可以按预定的方式进行曲线的

局部修改，我们可以牺牲掉一些精确性，换取更好的控制曲线的方法，适合于局

部修改！这也符合自然的规律，不十全十美的东西反而要好用一些。这就是Bezier

曲线。

1：定义

为了更直观一些，还是先使用几何作图的方式来产生一条4次Bezier曲线吧。

我在UG中画了一个样条曲线，然后使用信息查询功能显示出它的Bezier多边

形和定义点，再把曲线隐藏，屏幕上便只有Bezier多边形了。虽然UG中的曲

线是NURBS，但在书中，我发现单段NURBS曲线很可能就是Bezier曲线的（这

个问题先搁这，等下一讲，到B样条曲线时自然要讲到的，我们假定我画得这

条线就是Bezier曲线）。我们使用分割Bezier多边形的方式进行一轮分割操作，

最后得到一个点，这个点就是Bezier曲线上的点。（我的图是随手画的，自然不

太准确，大体位置还正确）。

此处的Bezier多边形，由5个顶点（P0,P1,P2,P3,P4）生成，这5个顶点决定

了Bezier曲线的形状，呆会儿我们就能够做出Bezier的代数形式。在Bezier多

边形的每条边上，按u/(1-u)的比例找到一个分割点（u是区间[0，1]上的一个常

量），进行第一轮分割，分割点都作出来之后，连成线段。如下图所示：

然后我们进行第二轮分割，第二轮分割是在第一轮分割形成的新多边形上进行

的，如下图所示：

然后再进行第三轮分割，第三轮分割的结果不再是新多边形了，而是一条直线

段。然后在该线段上进行第四轮分割，分割结果是一个点了！！！

最后我们把一个已经作好的Bezier曲线显示出来，来检验我们的作图方式是否

正确，如下图所示：

就象我们预料的那样，只要我们分割多边形最后得到一个点后，就更改u的值，

再