宁波市骨干教师关于平面向量的讲座.pdf

平面向量的基础知识与基本技能以及发展与提高的方向

一、对向量概念的思考

1．平面向量的历

中学阶段向量又称矢量，最初被应用于物理学，很多物理量如力、速度、加速度、位

移、电场强度、磁感应强度等都是矢量，大约在公元前350年前，古希腊著名学者亚里士

多德就知道了力可以表示成向量，两个力的组合作用可以用著名的平行四边形法则来得到，

向量一词来自力学，解析几何中的有向线段，最先使用有向线段表示向量的是英国的大科

学家牛顿，我们讨论的向量是一种带有几何性质的量，除零向量外，总可能画出箭头表示

方向，但是高等数学中还有更广泛的向量，例如把所有实数多项式的全体看成一个多项式

空间，这里的多项式都可以看成一个向量，在这种情况下，要找出起点和终点办不到的，

这种空间中的向量比几何中的向量要广泛得多，可以是任意数学对象或物理对象，这样就

可以指导线性代数方法应用到广阔的自然科学领域中去了，因此向量空间的概念，已经成

为数学中最基本的概念和线性代数的中心内容，它的理论和方法在自然科学各领域中得到

广泛的应用，而向量及线性代数也为“向量空间”这一抽象的概念提供了一个模型．从数

学的发展史上来看，历史上很长一段时间，空间的向量结构并未被数学家们所认识，直到19

世纪末20世纪初，人们才把空间的性质现向量运算联系起来，使向量成为一套优良运算通

性的数学体系．

向量能进入数学并得到发展，首先应从复数的几何表示开始，经过挪威测量学家威塞

尔为代表的努力，使向量进入了数学，到19世纪中期，英国数学家哈密尔顿发明了四元数（包

括数量部分和向量部分），以此代表空间的向量，他的工作为向量代数和向量分析奠定了基

础，随后，电磁理论的发现者英国物理学家麦克思韦把四元数的数量部分和向量部分分开

处理从而创造了大量的向量分析．

三维向量分析的开创，以及同四元数的正式分裂，是英国的居伯斯和海维德于19世纪

80年代各自独立完成的，他们提出，一个向量不过是四元数的向量部分，但不独立于任何

四元数，他们引进了进了两种类型的乘法，即数量积和向量积，并把向量代数推广到变量

的向量空间．从此向量的方法被引进到分析和解析几何中来，并逐步完善，成为了一种优

良的数学工具．

现代线性代数已经扩展到研究任意或无限维空间．一个维数为n的向量空间叫做n

维空间．在二维和三维空间中大多数有用的结论可以扩展到这些高维空间．尽管许多人不

容易想象n维空间中的向量，这样的向量（即n元组）用来表示数据非常有效．由于作

为n元组，向量是n个元素的“有序”列表，大多数人可以在这种框架中有效地概括和操

纵数据．比如，在经济学中可以使用8维向量来表示8个国家的国民生产总值

（GNP）．（国内生产总值用GDP表示）当所有国家的顺序排定之后，比如(中国,美国,

英国,法国,德国,西班牙,印度,澳大利亚)，可以使用向量(v1,v2,v3,v4,v5,v6,v7,v8)

作为证明定理而使用的纯抽象概念，向量空间（线性空间）属于抽象代数的一部分，而且

已经非常好地融入了这个领域．一些显著的例子有：不可逆线性映射或矩阵的群，向量空

间的线性映射的环．线性代数也在数学分析中扮演重要角色，特别在向量分析中描述高

阶导数，研究张量积和可交换映射等领域．向量空间是在域上定义的，比如实数域或复

数域．线性算子将线性空间的元素映射到另一个线性空间（也可以是同一个线性空间），保

持向量空间上加法和标量乘法的一致性．所有这种变换组成的集合本身也是一个向量空

间．如果一个线性空间的基是确定的，所有线性变换都可以表示为一个数表，称为矩阵．对

矩阵性质和矩阵算法的深入研究（包括行列式和特征向量）也被认为是线性代数的一部

分．我们可以简单地说数学中的线性问题——-那些表现出线性的问题——是最容易被解

决的．比如微分学研究很多函数线性近似的问题．在实践中与非线性问题的差异是很重

要的．线性代数方法是指使用线性观点看待问题，并用线性代数的语言描述它、解决它（必

要时可使用矩阵运算）的方法．这是数学与工程学中最主要的应用之一．

2、向量与矢量

上面的历史中可以知道，矢量是特殊的向量，是向量在物理中的一个应用,矢量的方向是

可以确定的,