函数方程问题 “赋值”或“模型”解法教师版.pdf

函数方程问题“赋值”或“模型”解法

重庆张光年

在初中我们知道：含有未知数的等式叫方程。我们含有未知函数的等式叫函数方程

我们复习到函数这一章节的有关知识时常遇到函数方程问题，其中有这样一个题：

1

(重庆卷改编)定义在R上的函数yf(x)满足:f14,4fxfyfxyfxyx,yR判断

yf(x)的奇偶性并说明理由

x0

解：令得4f0fyfyfy只需求出f0，故再令y0,x1得

，

1

4f1f0f1f1f02，所以2fyfyfyfyfy所以f(x)为偶函数

这类问题通常都是用“赋值法”来证明奇偶或求值。

有一些方法或公式可以求方程的解，那么函数方程能不能求出解？解函数方程对中学生是有一定难度，

但高考中的绝大多数函数方程比较容易找到解并且都是我们学习过的基本函数，归纳出常见的函数方程的代表

解。

一．函数方程的相关结论

（1）几类常见函数方程的代表解

函数方程满足条件（根据题目还应有条件）联想代表函数模型（还有其它的解）

1）或

f(xx)f(x)f(x)f(xx)f(x)f(x)f(x)kx（k0）

12121212

f(xx)f(x)f(x)f(xx)f(x)/f(x)x

2）1212或1212f(x)a（a0,a1）

f(xx)f(x)f(x)f(x/x)f(x)f(x)

3）1212或1212f(x)logx（a0,a1）

a

f(xx)f(x)f(x)f(x/x)f(x)/f(x)a

4）1212或1212f(x)x（Q）

5）f(xx)f(xx)2[f(x)f(x)]f(x)ax2（a0）

121212

6）f(xx)f(xx)2f(x)f(x)f(x)cosx

121212

f(x)f(x)