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解析几何产生的历史

实际背景和数学条件解析几何与射影几何几乎同时在文艺复兴的法国产

生，虽然产生于同一个时代，但实际背景和数学条件却很不一样．

解析几何的实际背景更多的是来自对变量数学的需求．文艺复兴后的欧洲

进入了一个生产迅速发展，思想普遍活跃的时代．机械的广泛使用，促使人们对

机械性能进行研究，这需要运动学知识和相应的数学理论；建筑的兴盛、河道

和堤坝的修建又提出了有关固体力学和流体力学的问题，这些问题的合理解决需

要正确的数学计算；航海事业的发展向天文学，实际上也是向数学提出了如何

精确测定经纬度、计算各种不同形状船体的面积、体积以及确定重心的方法，望

远镜与显微镜的发明，提出了研究凹凸透镜的曲面形状问题．在数学上就需要

研究求曲线的切线问题．所有这些都难以仅用初等几何或仅用初等代数在常量数

学的范围内解决，于是，人们就试图创设变量数学．作为代数与几何相结合的

产物――解析几何，也就在这种背景下问世了．

解析几何的核心思想是通过坐标把几何问题表示成代数形式，然后通过代

数方程来表示和研究曲线．要做到这一点，得有数学自身的条件：一是几何学已

出现解决问题的乏力状态；二是代数已成熟到能足以有效地解决几何问题的程

度．

几何学形成得很早，公元前3世纪产生了具有完整体系的欧几里得的《原

本》．半个世纪后，古希腊另一位数学家阿波罗尼斯又著《圆锥曲线论》．如果说

《原本》的伟大功绩在于首次建立起几何学的完整演绎体系的话，那么阿波罗尼

斯的8卷《圆锥曲线论》以其几乎将圆锥曲线的全部性质网罗殆尽而永垂史册．可

以这样说，在解析几何之前的所有研究圆锥曲线的著作中，没有一本达到像《圆

锥曲线论》那样的对圆锥曲线研究得如此详尽的程度．

但是，像古希腊所有的几何学一样，阿波罗尼斯的几何是一种静态的几

何．它既不把曲线看作是一种动点的轨迹，更没有给它以一般的表示方法．这种

局限性在16世纪前，并没有引起注意，因为实践没有向几何学提出可能引起麻

烦的课题．16世纪以后的情况就不同了．哥白尼（Copernicus，1473－1543）提

出日心说，伽利略（Galileo，1564－1642）由物体运动的研究，得出惯性定律

和自由落体定律，这些都向几何学提出了用运动的观点来认识和处理圆锥曲线及

其他几何曲线的课题．地球绕太阳运转的轨道是椭圆、物体斜抛运动的轨道是

抛物线，这些远不是靠建立在用平面截圆锥而得到的椭圆和抛物线的概念所能把

握的．几何学要能反映这类运动的轨道的性质，就必须从观点到方法来一个变

革，创立起一种建立在运动观点上的几何学．

16世纪代数的发展恰好为解析几何的诞生创造了条件．我们知道，解析几

何的方法是在引进坐标的基础上，把由曲线所决定的两个坐标之间的关系用方程

表示出来，通过对方程的研究来反映图形的性质．如果代数尚未符号化，那么

即使煞费苦心地引进坐标概念，也不可能建立一般的曲线方程，发挥其具有普遍

性的方法的作用．1591年法国数学家韦达第一个在代数中有意识地系统地使用

了字母，他不仅用字母表示未知数（这在他之前早有人做了），而且用以表示已

知数，包括方程中的系数和常数．这样，代数就从一门以分别解决各种特殊问

题的侧重于计算的数学分支，成为一门以研究一般类型的形式和方程的学问．这

就为几何曲线建立代数方程铺平了道路．当然，符号代数的形成不只出于韦达

一人之手，他之前，斯台文等人曾为建立幂指数概念和符号的使用作出过努力，

而像今天这样用a、b、c…表示已知数，用x、y、z…表示未知数却是笛卡尔创

始的．总之，17世纪的社会背景和数学自身条件都为解析几何的创建作好了准

备，它将等待创立者去完成．

费尔玛的贡献

解析几何是由费尔玛和笛卡尔分别创立的．1601年8月20日费尔玛

（Fermat，1601－1665）生于法国图卢兹附近的一个皮革商家庭，大学时专攻法

律，毕业后以当律师谋生，曾担任图卢兹地方议会议员和顾问三十余年．费尔

玛虽是一位业余数学家，而且认真研究数学还是在他30岁之后，但他却在17

世纪数学史上独占鳌头．在牛顿、莱布尼兹大体完成微积分之前，他是为创立微

积分作出贡献最多的人．事实上，如果要在牛顿、莱布尼兹之后再添上一位创立

者名字的话，那么写上费尔玛是十分恰当的；他又与惠更斯、帕斯卡一起被誉为

概率论的创始人；17世纪的数论更几乎是费尔玛的世界，著名的费尔玛大定理

至今仍吸引着一批追求者．

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