江西省抚州市临川第一中学2024届高三下学期5月训练检测数学试题（含答案解析）.docx

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江西省抚州市临川第一中学2024届高三下学期5月训练检测数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知复数是纯虚数（i为虚数单位），则（????）

A．2或 B．2 C． D．0

2．设集合，，则（????）

A． B． C． D．

3．已知，是单位向量，若，则在上的投影向量为（????）

A． B． C． D．

4．已知直线和平面，则的一个必要条件是（????）

A．， B．，

C．， D．与平面成等角

5．若，则（????）

A． B． C． D．

6．设F是椭圆的一个焦点，过椭圆C中心的直线交椭圆于P，Q两点，则的周长的最小值为（????）

A．12 B．14 C．16 D．18

7．定义在上的函数满足，则下列是周期函数的是（????）

A． B． C． D．

8．已知数列的通项公式为，数列的通项公式为，若将数列，中相同的项按从小到大的顺序排列后构成数列，则484是数列中的第（????）

A．12项 B．13项 C．14项 D．15项

二、多选题

9．关于函数，下列说法中正确的有（????）

A．是奇函数 B．在区间上单调递增

C．为其图象的一个对称中心 D．最小正周期为

10．法国数学家加斯帕尔?蒙日发现：椭圆的两条互相垂直的切线的交点轨迹是以椭圆中心为圆心的圆（称为椭圆的蒙日圆）.已知椭圆的左?右焦点分别为，左?右顶点分别为，点是椭圆上异于的动点，点是该椭圆的蒙日圆上的动点，则下列说法正确的是（????）

A．该椭圆的蒙日圆的方程为

B．存在点使的面积为25

C．使的点有四个

D．直线的斜率之积

11．日常生活中植物寿命的统计规律常体现出分布的无记忆性.假设在一定的培养环境下，一种植物的寿命是取值为正整数的随机变量，根据统计数据，它近似满足如下规律：对任意正整数，寿命恰好为的植物在所有寿命不小于的植物中的占比为.记“一株植物的寿命为”为事件，“一株植物的寿命不小于”为事件.则下列结论正确的是（????）

A．

B．

C．设，则为等比数列

D．设，则

三、填空题

12．以下数据为参加某次数学竞赛的15人的成绩（单位：分），分数从低到高依次是：，，则这15人成绩的第80百分位数是．

13．在菱形中，，，将沿翻折，使二面角的余弦值为，则四面体的外接球的表面积为.

14．已知函数，若方程有三个不相等的实数解，则实数a的取值范围为.

四、解答题

15．记等差数列的前项和为，已知，且．

(1)求和；

(2)设，求数列前项和．

16．已知函数在处有极值2．

（Ⅰ）求，的值；

（Ⅱ）证明：．

17．如图，四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，，．

(1)求证：平面平面；

(2)若，求二面角的余弦值.

18．平面直角坐标系中，椭圆C：的离心率是，抛物线E：的焦点F是C的一个顶点．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线与C交与不同的两点A，B，线段AB的中点为D，直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M．

（i）求证：点M在定直线上;

（ii）直线与y轴交于点G，记的面积为，的面积为，求的最大值及取得最大值时点P的坐标．

19．一座小桥自左向右全长100米，桥头到桥尾对应数轴上的坐标为0至100，桥上有若干士兵，一阵爆炸声后士兵们发生混乱，每个士兵爬起来后都有一个初始方向（向左或向右），所有士兵的速度都为1米每秒，中途不会主动改变方向，但小桥十分狭窄，只能容纳1人通过，假如两个士兵面对面相遇，他们无法绕过对方，此时士兵则分别转身后继续前进（不计转身时间）.

(1)在坐标为10，40，80处各有一个士兵，计算初始方向不同的所有情况中，3个士兵全部离开桥面的最长时间（提示：两个士兵面对面相遇并转身等价于两个士兵互相穿过且编号互换）；

(2)在坐标为10、20、30、……、90处各有一个士兵，初始方向向右的概率为，设最后一个士兵离开独木桥的时间为秒，求的分布列和期望；

(3)若初始状态共个士兵，初始方向向右的概率为，计算自左向右的第个士兵（命名为指挥官）从他的初始方向离开小桥的概率，以及当取得最大值时取值．

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参考答案：

1．C

【分析】根据纯虚数的概念列方程求即可.

【详解】因为复数是纯虚数，

所以且，

所以．

故选：C.

2．C

【分析】由题意可知实质是求交点，进而