2017年全国高中数学联合竞赛试卷与解答.docx

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2017年全国高中数学联合竞赛一试（B卷）

一、填空题：本大题共8个小题,每小题8分,共64分.

在等比数列{a

n

}中，a

2

，a ，则a

23313

2

33

1

7

a

2011的值为 .

a

2017

设复数z满足z 9 10z 22i，则|z|的值为 .

设f(x)是定义在R上的函数，若f(x) x2是奇函数，f(x)2x是偶函数，则f(1)的值为 .

在 ABC中，若sinA 2sinC，且三条边a,b,c成等比数列，则cosA的值为 .

在正四面体ABCD 中，E,F分别在棱AB,AC上，满足BE 3，EF 4，且EF与平面BCD平行，则 DEF 的面积为 .

在平面直角坐标系xOy中，点集K {(x,y)|x,y 1,0,}1，在K中随机取出三个点，则这三个点两两

之间距离均不超过2的概率为 .

设a为非零实数，在平面直角坐标系xOy中，二次曲线x2

ay2 a2

0的焦距为4，则a的值

为 .

若正整数a,b,c满足2017 10a 100b 1000c，则数组(a,b,c)的个数为 .

二、解答题（本大题共3小题，共56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

设不等式|2x

a||5 2x|对所有x [1,2成]

立，求实数a的取值范围.

设数列{a

}是等差数列，数列{b

}满足b a a

a2，n 1,2,.

n

证明：数列{b

n

n

}也是等差数列；

n n1n2 n

设数列{a

n

}、{b

n

}的公差均是d 0，并且存在正整数s,t，使得a

s

b是整数，求|a

t 1

|的最小值.

在平面直角坐标系xOy中，曲线C:y2 4x，曲线C:(x 4)2 y2 8，经过C 上一点P作一条倾

1 2 1

斜角为45的直线l，与C

2

交于两个不同的点Q,R，求|PQ||PR|的取值范围.

2017年全国高中数学联合竞赛加试（B卷）

一、（本题满分40分）

设实数a,b,c满足a b c 0，令d max{a,b,c}，证明：(1a)(1b)(1c) 1 d2

二、（本题满分40分）

给定正整数m，证明：存在正整数k，使得可将正整数集N分拆为k个互不相交的子集A,A,

1 2

,A，每

k

个子集A

i

中均不存在4个数a,b,c,d（可以相同），满足ab cd m.

三、（本题满分50分）

如图，点D是锐角 ABC的外接圆 上弧BC的中点，直线DA与圆 过点B,C的切线分别相交于点

P,Q，BQ与AC的交点为X，CP与AB的交点为Y，BQ与CP的交点为T，求证：AT平分线段XY.

四、（本题满分50分）

设a,a, ,a {1,2,,5}，b,b, ,b

{1,2,,10}，集合

1 2 20 1 2 20

X {(i,j)1 i j 20,(a

a)(b

b) 0}，求X的元素个数的最大值.

i j i j

8

1.答案：

9

一试试卷答案

33

33

2

解：数列{a

}的公比为q 3

，故 1

2011

1 2011 .

n a a

2.答案：5解：设

2.答案：

5

解：设z

a

bi,a,b

R，由条件得(a

9)

bi

10a

(10b

22)i，比较两边实虚部可得

a

2017

q6(a

1

a

2011

) q6 9

a 9 10a

b 10b 22

57

5

，解得：a 1,b 2，故z 1 2i，进而|z| .

答案：

4

1

解：由条件知，f(1)1 (f(1)(1)2) f(1)1，f(1)2 f(1) ，

2

两式相加消去f(1)，可知：2f(1)3 1

，即f(1) 7.

2 4

2答案：

2

4

2a sinA

2

解：由正弦定理知，

c sinC

2，又b2 ac，于是a:b:c 2:

:1，从而由余弦定理得：

cosA

b2 c2 a2 (2)2 12 22

2212.

2

21

2

2bc 4

33答案：2

33

解：由条件知，EF平行于BC，因为正四面体ABCD 的各个面是全等的正三角形，故AE AF EF 4，

AD AB AE BE 7.

AD2 AE2

AD2 AE2 2AD

AE cos60

49 16 28

37

37同理有DF .

37

DE2

DE2

E