基本不等式——较难 2024.8.5.docx

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基本不等式——较难

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知，，则的最大值为（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由题意首先得，且，进一步通过换元法以及判别式法即可求解，注意验证取等条件.

【详解】因为，所以，所以，等号成立当且仅当，

从而，

令，设，显然，

则，

因为关于的一元二次方程有实数根，所以，

整理得，即，

解得，注意到，从而，

等号成立当且仅当，即，

所以经检验的最大值，即的最大值为.

故选：D.

【点睛】关键点点睛：关键是得，且，由此即可顺利得解.

2．已知x为正实数，y为非负实数，且，则的最小值为（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】变形式子，再利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.

【详解】由x为正实数，y为非负实数，得，由，得，

于是

，当且仅当，即时取等号，

所以当时，取得最小值.

故选：B

3．设，若，则的最小值为（????）

A．6 B． C． D．4

【答案】D

【分析】由基本不等式结合待定系数比例即可得解.

【详解】设，，

令，解得，所以，

即，当且仅当，时，等号成立．

故选：D.

4．已知，则的最大值是（????）

A．15 B．18 C．20 D．24

【答案】C

【分析】先利用立方和公式和极化配方式把等式转化为只含有的一个等式，然后利用配方进行整理即出现含的式子，即可得出答案.

【详解】利用公式

及可得：

，

，

所以代入已知式化简可得，

由观察可得：当，时，即成立，

此时，

所以①，

又②，

③，

则①②③可得：

，

所以

，

故原不等式可化为：，

即，故，

此时当时等号成立，即的最大值是.

故选：C.

【点睛】关键点晴：本题的关键点在于寻求当分别为何值时，可能取得最大值，根据原式不易观察，所以先利用立方和公式和极化配方式把等式转化为只含有的一个等式，然后利用配方进行整理即出现含的式子，即可得出答案.

5．若，且，则的最小值为（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】首先利用条件等式将表达式变形，然后利用基本不等式求最小值，一定要注意取等条件是否成立.

【详解】因为，

所以由题意

，

因为，所以，

所以由基本不等式可得，

当且仅当时等号成立，即当且仅当或时等号成立，

综上所述，的最小值为.

故选：D.

【点睛】关键点点睛，解决本题的关键是要利用条件等式对已知表达式变形，利用基本不等式后要注意到取等条件的成立与否.

6．已知，则的最小值为（????）

A．16 B．18 C．8 D．20

【答案】B

【分析】将转化为，发现所求式子两个分母和为定值1，即，所以运用“1”的灵活代换及均值不等式即可求解.

【详解】解：因为，所以，

又因为，

所以

（当且仅当即时等号成立），

故选：B.

7．已知，则的最小值为（????）

A．8 B．9 C．10 D．11

【答案】B

【分析】设，，，即可表示出、、，再利用基本不等式计算可得.

【详解】解：设，，，则，，，

且，，，

∴，，，

∴，

令

，

∴.

当且仅当，即，即时等号成立.

（如，即时等号成立）.

∴的最小值为；

故选：B．

8．已知，，，则的最小值为（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据条件得，代入式子化简，结合基本不等式即可求得最小值.

【详解】因为，所以

即

，当且仅当，即时，等号成立.

所以

故选:D.

9．若a，，，则的最大值为（????）

A． B． C．2 D．4

【答案】A

【分析】利用基本不等式即可求解.

【详解】，当且仅当时，等号成立；

又，当且仅当时，即，等号成立；

，解得，，

所以的最大值为

故选：A

10．是不同时为0的实数，则的最大值为（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】对原式变形，两次利用基本不等式，求解即可.

【详解】若要使最大，则均为正数，即符号相同，

不妨设均为正实数，

则

，

当且仅当，且取等，即取等号，

即则的最大值为，

故选：A．

【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方，注意多次运用不等式，等号成立条件是否一致.

11．已知，