知识讲解_抛物线的方程与性质_基础.docx

抛物线的方程与性质

【学习目标】

掌握抛物线的定义、几何图形和标准方程.

理解抛物线的简单性质（范围、对称性、顶点、离心率）.

能用抛物线的方程与性质解决与抛物线有关的简单问题.

进一步体会数形结合的思想方法.

【要点梳理】

要点一、抛物线的定义

定义：平面内与一个定点F和一条定直线l（l不经过点F）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点

F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线．要点二、抛物线的标准方程

标准方程的推导

如图，以过F且垂直于l的直线为x轴,垂足为K.以F,K的中点O为坐标原点建立直角坐标系xoy.

p p

设|KF|=p(p＞0)，那么焦点F的坐标为(

,0)，准线l的方程为x?? .

2 2

设点M（x,y）是抛物线上任意一点，点M到l的距离为d.由抛物线的定义，抛物线就是集合

将上式两边平方并化简，得y2

?2px(p?0). ①

p

方程①叫抛物线的标准方程，它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上，坐标是(2,0)它的准线方程

是x??p.

2

抛物线标准方程的四种形式：

根据抛物线焦点所在半轴的不同可得抛物线方程的的四种形式y2?2px，y2??2px，x2?2py，x2??2py(p?0)。要点诠释：

①只有当抛物线的顶点是原点，对称轴是坐标轴时，才能得到抛物线的标准方程；

②抛物线的焦点在标准方程中一次项对应的坐标轴上，且开口方向与一次项的系数的正负一致，比如抛

物线x2

??20y的一次项为?20y，故其焦点在y轴上，且开口向负方向（向下）

P?

P?{M||MF|?d}.

?|MF|? (x?p)2?y2,d?|x?p|,

2

2

? (x?p)2?y2?|x?p|.

2

2

??20y的一次项?20y的

方程图象的开口方向焦点准线y2?kxk?

方程

图象的开口方向

焦点

准线

y2?kx

k?0时开口向右k?0时开口向左k?0时开口向上

k?0时开口向下

( ,0)

4

k

x??

k

4

x2?ky

(0, )

4

k

y??

k

4

④从方程形式看，求抛物线的标准方程仅需确定一次项系数。用待定系数法求抛物线的标准方程时，首先根据已知条件确定抛物线的标准方程的类型（一般需结合图形依据焦点的位置或开口方向定型），然后求一次项的系数，否则，应展开相应的讨论.

⑤在求抛物线方程时，由于标准方程有四种形式，易混淆，可先根据题目的条件作出草图，确定方程的形式，再求参数p，若不能确定是哪一种形式的标准方程，应写出四种形式的标准方程来，不要遗漏某一种情况。

要点三、抛物线的简单几何性质：

抛物线标准方程y2

?2px(p?0)的几何性质

范围：{xx?0}，{yy?R}，

抛物线y2=2px（p＞0）在y轴的右侧，开口向右，这条抛物线上的任意一点M的坐标（x，y）的横坐标满足不等式x≥0；当x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。抛物线是无界曲线。

对称性：关于x轴对称

抛物线y2=2px（p＞0）关于x轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴。抛物线只有一条对称

轴。

顶点：坐标原点

抛物线y2=2px（p＞0）和它的轴的交点叫做抛物线的顶点。抛物线的顶点坐标是（0，0）。离心率：e?1.

抛物线y2=2px（p＞0）上的点M到焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率。用e表

示，e=1。

抛物线的通径

通过抛物线的焦点且垂直于对称轴的直线被抛物线所截得的线段叫做抛物线的通径。

因为通过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点而垂直于x轴的直线与抛物线两交点的坐标分别为?p,p?，

? ?

2? ?

2

?p,?p?，所以抛物线的通径长为2p。这就是抛物线标准方程中2p的一种几何意义。另一方面，由通径

?2 ?

? ?

的定义我们还可以看出，P刻画了抛物线开口的大小，P值越大，开口越宽；P值越小，开口越窄．抛物线标准方程几何性质的对比

要点诠释：

与椭圆、双曲线不同，抛物线只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴，一条准线；

标准方程中的参数p的几何意义是指焦点到准线的距离；p＞0恰恰说明定义中的焦点F不在准线l上这一隐含条件；参数p的几何意义在解题时常常用到，特别是具体的标准方程中应找到相当于p的值，才易于确定焦点坐标和