分离变量法常数变易法、行波法和积分变换法达朗贝尔.pdfVIP

分离变量法常数变易法、行波法和

积分变换法达朗贝尔

设w=u+iV及z=x+iy分别是两个复平面上的点，复函数w=f(z)确定了这两

个复平面之间的一个映射，当w=f(z))是一个目数不为零的解析函数时，所对

应的映射称为保角映射。

保角映射这种映射必定是一对一的，且具有:(l)伸缩率的不变性，即在某

一点Z0上沿不同的方向的曲线微元ds与映射后所得的象ds′的比值都是f′

(z0);(2)旋转角的不变性并且保持角的定向，即若把z平面与w平面迭放在一

起，且使ZO与W0=f(z0)重合，则过Z0的任一条曲线C到它的象C′的转角为

定值。如果X轴与U轴及y轴与V轴方向相同，这个转角就是Argf(z0)，因

此交手Z0的任意两条曲线C1，C2的夹角与它们的象C1，C2的夹角相等且转向

不变。保角变换方法(conformaltransformationmethod)

保角变换是利用复变量解析函数实部和虚部都满足拉普拉斯(Laplace)方程

的特点，及通过复平面变换以简化求解二维拉普拉斯方程边值问题的一种方法。

由于在没有电荷分布的空间中静电势满足拉普拉斯方程，故此法可用来求解二

维的静电势问题。通过一适当的解析复变函数f(z)，将复变数平面z=x+iy变

换成另一复变数平面z′=f(z)=x′+iy′或z=g(z′)将z平面上位形复杂的边

值问题，变换至z′平面上位形简单的相应边值问题，以便容易求出静电势的

解φ′(x′,y′)。由此在z′平面中构成解析的复变函数W′(z′)=φ′+i

Ψ′。最后再由z′平面换回z平面W(z)=W′(f(z))=φ(x,y)+iΨ(x,y)，从而

得到欲求的二维拉普拉斯方程边值问题的解。由于通过解析函数变换时，分别

在二复平面中任意二曲线元之间的夹角不变，故此种变换称为保角变换。

保角映射

英文术语名:conformaltransformation【保角映射的定义】设f(z)是区域

D到G的双射(既是单射又是满射)，且在D内的每一点都具有保角性质，则称

f(z)是区域D到G的保角映射，也称为保角变换或者共形映射。【局部保角映

射】如果对于区域D内任意一点，存在一个邻域使f(z)在这个邻域内映射是保

角的，则称f(z)是D内的局部保角映射。【保角映射的一些定理】(1)函数f(z)

是区域D内的局部保角映射，当且仅当f(z)在D内解析，且f(z)不等于0.(2)

设f(z)是区域D内的解析单射，则对于任意z属于D,f(z)不等于0.【保角映

射的主要题型】(1)判别一个映射，是否是保角映射.(2)已知映射及一个区域，

求像区域.(3)已知两个区域，求映射.以上(2)，(3)题目较为灵活.故必须熟练

掌握各种基本映射(整式线性映射、幂函数映射、指数函数映射等)的特点及一

些基本区域之间的映射(或变换).保角映射(保角映射=保角变换凡具有保角性和

伸缩率不变性的映射称为保角映射)弦的的任意扰动总是以行波形式向不同方向

传播，并且传播速度是弦振动方程的常数。行波法由初始扰动所引起的震动就

会一往无前的传播出去，形成行波因此解决此问题的方法叫行波法，达朗贝尔

公式是解决行波法的工具。

典型方程及其解法

第二节分离变量法

分离变量法是解数理方程的重要方法之一，它的目的是把偏微分方程的求

解化为常微分方程的求解。

1常用正交坐标系中微分算子的表达

以直角坐标系()为基础，对任意其他三维正交归一完备系()

如果有，，;

我们称为方向的无穷小固有间隔，为方向的无穷小坐标间隔。对于直角坐

标系

()，;对于球坐标系()，，，;对于圆柱坐标系()，，，。

则梯度算子与拉普拉斯算子在正交坐标下可写成: