单形二面角的含参正弦不等式及其代数不等式.pdf

单形二面角的含参正弦不等式及其代数不等式

李兴源lihpb@

摘要

本文通过构造一类特殊的单形并利用Cayley-Menger行列式将一个关于n维单形二面角的含参正弦不等式改写

成代数不等式。

关键词

n维单形，二面角，几何不等式，Cayley-Menger行列式

TheParametricallySineInequalityandits

AlgebraicInequalitiesfortheDihedralAngles

intheN-Simplex

XingyuanLi,lihpb@

Abstract

Thisarticlerewritesaparametricallysineinequalityforthedihedralanglesinthen-simplexby

constructingaspecialtypeofsimplexandutilizingCayley-MengerDeterminant.

Keywords

N-Simplex,DihedralAngle,GeometricInequality,Cayley-MengerDeterminant

1.引言

nR

本文约定：维单形AAAA的体积为，其外接球半径为，各顶点A(i0,1,2,...,n)所对的

Vn1

012ni

SF(i,j0,1,2,...,n;ij)S

维侧面及其体积为，与所交的维单形及其体积为，与所夹的二

SSn2S

iijijij

θAAaxx

面角为，各棱长，、、、...、为任意正实数，n3。

xx

ijijij012n

文[1]给出了以下结论

2

2n1n

定理1xxsinθx，

ijij2ni

0ijni0

当xxxx且该单形为正则单形时，上面不等式中的等号成立。

012n

本文会通过构造一类特殊的单形进而将定理1改写成对应的代数不等式。

1

2.预备知识

(n1)SS

引理1Vijsinθ，0