高中数学同步课件 培优课　定点、定值、最值、范围问题.pptxVIP

第二章培优课定点、定值、最值、范围问题

课标要求1.掌握与圆锥曲线有关的最值、范围问题.2.掌握与圆锥曲线有关的定点、定值问题.

课时精练一、与面积有关的最值、范围二、求表达式的最值、范围三、定点问题课堂达标内容索引四、定值问题

与面积有关的最值、范围一

例1由题意可知，直线l的斜率存在且不为零，设直线l的方程为y＝kx－1(k≠0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，

(1)求三角形面积的最值，有时运用图形的性质特征，直接确定动点处于什么位置时三角形面积最大.(2)写出面积表达式，利用函数，不等式性质或基本不等式求解.思维升华

训练1

(2)点N为椭圆上任意一点，求△AMN的面积的最大值.设与直线AM平行的直线方程为x－2y＝m，如图，当直线与椭圆相切时，与AM距离比较远的直线与椭圆的切点为N，此时△AMN的面积取得最大值.化简可得16y2＋12my＋3m2－48＝0，所以Δ＝144m2－4×16(3m2－48)＝0，即m2＝64，解得m＝±8，与AM距离比较远的直线方程为x－2y＝8，点N到直线AM的距离即两平行线之间的距离，

求表达式的最值、范围二

例2当AB⊥x轴时，圆A与x轴相切，点B为切点，由题意可知此时点A的横坐标为1，

思维升华此类问题，关键在于把表达式化简整理成恰当的形式，以便确定所运用函数或不等式.

设抛物线C：y2＝2px(p0)的焦点为F，点D(p，0)，过F的直线交C于M，N两点.当直线MD垂直于x轴时，|MF|＝3.(1)求C的方程；训练2

(2)设直线MD，ND与C的另一个交点分别为A，B，记直线MN，AB的倾斜角分别为α，β.当α－β取得最大值时，求直线AB的方程.如图，根据(1)知F(1，0)，D(2，0).此时α－β＝0.当MN的斜率存在时，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，A(x3，y3)，B(x4，y4)，

即y(y1＋y2)－y1(y1＋y2)＝4(x－x1)，所以直线MN的方程为y(y1＋y2)－y1y2＝4x.同理可得，直线AM的方程为y(y3＋y1)－y3y1＝4x，直线BN的方程为y(y4＋y2)－y4y2＝4x，直线AB的方程为y(y4＋y3)－y4y3＝4x.因为F(1，0)在MN上，所以y1y2＝－4.因为D(2，0)在AM，BN上，所以y3y1＝－8，y4y2＝－8，

当y2＋y10时，tan(α－β)0，所以不符合题意.

定点问题三

例3因为F1(－1，0)，F2(1，0)分别为椭圆C的左、右焦点，所以c＝1.当M为椭圆的短轴端点时，△MF1F2的面积最大，

整理得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0，Δ＝16k2m2－4(1＋2k2)(2m2－2)＝8(2k2－m2＋1)＞0，得1＋2k2＞m2(*).设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

②若x轴上任意一点到直线AF2与BF2的距离相等，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标.设直线AF2的斜率为k1，直线BF2的斜率为k2，

思维升华求解直线或曲线过定点问题的基本解题思路是：把直线或曲线方程中的变量x，y当作常数，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对变量的任意一个值都成立，这时变量的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x，y的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点.

训练3已知动圆过定点A(0，2)，且在x轴上截得的弦长为4.(1)求动圆圆心M的轨迹方程C.设动圆圆心为M(x，y)，则x2＋(y－2)2－4＝y2，化简得x2＝4y.

易知直线l的斜率存在，设l：y＝kx＋b，消去y，整理得x2－4kx－4b＝0.由根与系数的关系得x1＋x2＝4k，x1x2＝－4b.

定值问题四

例4设M(x1，y1)，N(x2，y2).若直线MN与x轴不垂直，设直线MN的方程为y＝kx＋m，

故(x1－2)(x2－2)＋(y1－1)(y2－1)＝0，整理得(k2＋1)x1x2＋(km－k－2)(x1＋x2)＋(m－1)2＋4＝0.将①代入上式，可得整理得(2k＋3m＋1)(2k＋m－1)＝0.因为A(2，1)不在直线MN上，所以2k＋m－1≠0，所以2k＋3m＋1＝0，k≠1.

若直线MN与x轴垂直，可得N(x1，－y1).

若D与P不重合，则由题设知AP是Rt△ADP的斜边，

思维升华对于定值问题常见的解题模板有两种①直接求出与变量无关的定值.②可以先研究一下特殊情况，找出定值，再研究一般情况.

训练4由题意，设直线l的方程为y＝kx＋1(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2).

【课堂达标】

√

√2.设抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点P(4，m)是抛物线C上一点，且|PF|＝5.设直线l与抛物线C交于A，B两点，若OA⊥OB(O为坐标原点)，则直线l过