(解析版)2022-2023学年浦东新区南汇中学高二(下)期中数学试卷.docx

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2022-2023学年上海市浦东新区南汇中学高二(下)期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、填空题(每小题3分,共12题,共36分)

1.(3分)直线x﹣y+1=0的倾斜角大小为30°.

【分析】把直线方程化为斜截式,再利用斜率与倾斜角的关系即可得出.

【解答】解:直线x﹣y+1=0化为斜截式为y=x

故直线的斜率是,

∴直线的倾斜角α满足tanα=,

结合α∈[0°,180°),可得α=30°

故答案为:30°.

2.(3分)抛物线y2=﹣x的准线方程是.

【分析】抛物线y2=﹣x,焦点在x轴上,开口向左,2p=1,由此可得抛物线的准线方程.

【解答】解:抛物线y2=﹣x,焦点在x轴上,开口向左,2p=1,∴=

∴抛物线y2=﹣x的准线方程是

故答案为:

3.(3分)双曲线的焦距为2.

【分析】直接利用双曲线的标准方程,求解双曲线的实半轴虚半轴的长,然后求解半焦距,即可得到结果.

【解答】解:双曲线,可得a=.b=1,则c=,

所以双曲线的焦距为2.

故答案为:2.

4.(3分)椭圆的离心率为.

【分析】根据椭圆的标准方程,确定a,b的值,求出c的值,利用离心率公式可得结论.

【解答】解:由题意,a=3,b=,

∴,

∴=

故答案为:

5.(3分)函数f(x)=x2在区间[2,4]上的平均变化率等于6.

【分析】根据题意,由平均变化率公式计算可得答案.

【解答】解:根据题意,在区间[2,4]上,Δy=f(4)﹣f(2)=16﹣4=12,

Δx=4﹣2=2,

则其平均变化率==6,

故答案为:6.

6.(3分)两直线3x﹣y+1=0,x﹣2y+3=0的夹角的大小为arctan1.(用反三角函数形式表示)

【分析】先求出两直线的斜率,再利用两直线的夹角公式,求得它们的夹角的大小.

【解答】解:直线3x﹣y+1=0的斜率为3,直线x﹣2y+3=0的斜率为,

设这两条直线的夹角的大小为θ,

则tanθ=||=1,∴θ==arctan1.

故答案为:arctan1.

7.(3分)若直线l经过点(1,3),且与圆x2+y2=10相切,则直线l的方程是x+3y﹣10=0.

【分析】点A(1,3)在圆C:x2+y2=10上,求出AC所在直线当斜率,由两直线垂直与斜率的关系可得切线的斜率,再由直线方程的点斜式得答案.

【解答】解:点A(1,3)在圆C:x2+y2=10上,

∵,

∴切线的斜率为﹣,则切线方程为y﹣3=(x﹣1),即x+3y﹣10=0.

故答案为:x+3y﹣10=0.

8.(3分)设P是椭圆上任意一点,F为C的右焦点,|PF|的最小值为,则椭圆C的长轴长为4.

【分析】利用已知条件推出a,即可求解椭圆的长轴长.

【解答】解:P是椭圆上任意一点,F为C的右焦点,|PF|的最小值为,

可得a﹣c=,所以a﹣=,解得a=2,

所以椭圆C的长轴长为2a=4.

故答案为:4.

9.(3分)已知F1,F2为双曲线C:x2﹣y2=1的左、右焦点,点P在双曲线C上,|PF1|=2|PF2|,则cos∠F1PF2=.

【分析】由双曲线C的方程,可求出a,b,c值,进而结合|PF1|=2|PF2|,|PF1|﹣|PF2|=2a,可得|PF1|,|PF2|长,再由余弦定理可得答案.

【解答】解:双曲线C:x2﹣y2=1,

故a2=b2=1,即a=b=1,

即c==,

由|PF1|=2|PF2|,

则|PF1|﹣|PF2|=|PF2|=2a=2,

则|PF1|=4,

在△F1PF2中,cos∠F1PF2===.

故答案为:.

10.(3分)已知直线l过抛物线C的焦点,且与C的对称轴垂直,l与C交于A,B两点,|AB|=10,P为C的准线上一点,则△ABP的面积为25.

【分析】根据抛物线的解析式y2=2px(p>0),写出抛物线的焦点、对称轴以及准线,然后根据通径|AB|=2p,求出p,△ABP的面积是|AB|与DP乘积一半.

【解答】解:由于抛物线的解析式为y2=2px(p>0),

则焦点为F(,0),对称轴为x轴,准线为x=﹣,

∵直线l经过抛物线的焦点,A、B是l与C的交点,

又∵AB⊥x轴

∴|AB|=2p=10

∴p=5

又∵点P在准线上

∴DP=+|﹣|=p=5

∴S△ABP=DP?AB=×5×10=25

故答案为25.

11.(3分)在平面直角坐标系xOy中,已知直线l:y=kx+8上存在点P,过点P作圆O:x2+y2=4的切线,切点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),且x1x2+y1y2=﹣2,则实数k的取值范围为(﹣∞,﹣]∪[,+∞).

【分析】根据题意,设∠AOB=θ,分析圆O的圆心和半径,表示向量、的坐标,由向量夹角公式可得cosθ的值,进而可得θ的值,结合直线与圆的位

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