结构力学教案 第11章 最小势能原理.pdf

第十一章最小势能原理

11.1概述

一、静力法

二、能量法

1、最小势能原理

2、最小余能原理。

11.2线弹性变形体系的变形势能

一、弹性体的应变能的概念。

（1）拉伸应变能

（11-1）

NEAl

式中是轴力，是截面抗拉刚度，Δ为杆件的伸长

U

量，表示变形能。

（2）弯曲应变能

（11-2）

MEI

式中是弯矩，是截面抗弯刚度，κ为曲率。

（3）剪切应变能

梁发生横力弯曲时，除有弯曲应变能外，还有剪切应变能

（11-3）

QGA/kk

式中是剪力，是截面抗剪刚度，γ为平均剪应变，

0

是与截面切应力分布规律有关的系数。

（4）圆轴扭转应变能

11-4）

MGII

式中是扭矩，是截面抗扭刚度，φ为扭转角，是截面

npp

极惯性矩。

应变能有以下的性质。

MN

（1）应变能总是正的，因为在它的计算公式中，、和

Q都是二次方。

（2）计算应变能时不能应用叠加原理，即体系在几个力

同时作用下的应变能，不能由这几个力分别作用下的应变能

相叠加而得到（以单个杆同时受轴力N和N的作用为例），

12

即

（3）应变能是状态函数。从式（11-6）可以看出，只要

体系的最后变形状态确定，应变能即惟—地确定。也就是说，

如果有几组荷载作用于同一体系，不论其作用的先后次序如

何，只要最后的变形形态相同，则在体系内储存的变形势能

也都相同。

11.3线性变形体系的最小势能原理

首先给出线性变形体系总势能Π的定义，即

UW

Π＝＋（11-7）

UW

式中为体系的应变能，为体系的外力势能。设结构上作

PPPP

用荷载、、、…、。结构在某一位移状态中与荷载

123n

P对于应的位移为Δ，则结构的外力势能为

ii

（11-8）

BC