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数值分析简介及其应用

数值分析(numericalanalysis)是研究分析用计算机求解数学计算问题的

数值计算方法及其理论的学科，是数学的一个分支，它以数字计算机求解数学问

题的理论和方法为研究对象，为计算数学的主体部分。数值分析是研究用计算机

求解各种数学问题的数值方法及其理论的一门学科。数值分析也称为数值计算方

法。研究对象由数学模型提出求解的数值计算方法并编程计算出结果，然后进行

误差分析。数百年前，人类已经将数学应用在建筑、战争、会计，以及许多领域

之上，最早的数学大约是西元前1800年巴比伦人泥板（Babyloniantablet）

上的计算式子。例如所谓的勾股数（3,4,5），是直角三角形的三边长比，在巴

比伦泥板上已经发现了开根号的近似值。数值分析在传统上一直不断的在改进，

因为像巴比伦人的近似值，至今仍然是近似值，即使用电脑计算也找不到最精确

的值。

数值分析这门学科有如下特点：

1.面向计算机

2.有可靠的理论分析

3.要有好的计算复杂性

4.要有数值实验

5.要对算法进行误差分析

数值分析的主要内容有：插值法，函数逼近，曲线拟和，数值积分，数值微

分，解线性方程组的直接方法，解线性方程组的迭代法，非线性方程求根，常微

分方程的数值解法。

现代的科学技术发展十分迅速，他们有一个共同的特点，就是都有大量的数

据问题。比如，发射一颗探测宇宙奥秘的卫星，从卫星世纪开始到发射、回收为

止，科学家和工程技术人员、工人就要对卫星的总体、部件进行全面的设计和生

产，要对选用的火箭进行设计和生产，这里面就有许许多多的数据要进行准确的

计算。发射和回收的时候，又有关于发射角度、轨道、遥控、回收下落角度等等

需要进行精确的计算。有如，在高能加速器里进行高能物理试验，研究具有很高

能量的基本粒子的性质、它们之间的相互作用和转化规律，这里面也有大量的数

据计算问题。

在求解方程的办法中，常用的办法之一是迭代法，也叫做逐次逼近法。迭代

法的计算是比较简单的，是比较容易进行的。迭代法还可以用来求解线性方程组

的解。求方程组的近似解也要选择适当的迭代公式，使得收敛速度快，近似误差

小。线性代数方程组的解法中，常用的有塞德尔迭代法、共轭斜量法、超松弛迭

代法等，此外，一些比较古老的普通消去法，如高斯法、追赶法等等，在利用计

算机的条件下也可以得到广泛的应用。

在计算方法中，数值逼近也是常用的基本方法。数值逼近也叫近似代替，就

是用简单的函数去代替比较复杂的函数，或者代替不能用解析表达式表示的函

数。数值逼近的基本方法是插值法。初等数学里的三角函数表，对数表中的修正

值，就是根据插值法制成的。在遇到求微分和积分的时候，如何利用简单的函数

去近似代替所给的函数，以便容易求到和求积分，也是计算方法的一个主要内容。

微分方程的数值解法也是近似解法，常微分方程的数值解法由欧拉法、预测校正

法等。偏微分方程的初值问题或边值问题，常用的是有限差分法、有限元素法等。

有限差分法的基本思想是用离散的、只含有限个未知数的差分方程去代替连续变

量的微分方程和定解条件。求出差分方程的解法作为求偏微分方程的近似解。

有限元素法是近代才发展起来的，它是以变分原理和剖分差值作为基础的方

法。在解决椭圆形方程边值问题上得到了广泛的应用。有许多人正在研究用有限

元素法来解双曲形和抛物形的方程。计算数学的内容十分丰富，它在科学技术中

正发挥着越来越大的作用。

现代社会各个领域普遍存在的共同问题，工业、农业、交通运输、医疗卫生、

文化教育等等，那一行那一业都有许多数据需要计算，通过数据分析，以便掌握

事物发展的规律。研究计算问题的解决方法和有关数学理论问题的一门学科就叫

做计算数学。计算数学属于应用数学的范畴，它主要研究有关的数学和逻辑问题

怎样由计算机加以有效解决。计算数学也叫做数值计算方法或数值分析。主要内

容包括代数方程、线性代数方程组、微分方程的数值解法，函数的数值逼近问题，

矩阵特征值的求法，最优化计算问题，概率统计计算问题等等，还包括解的存在

性、唯一性、收敛性和误差分析等理论问题。应用数学是应用目的明确的数学理

论和方法的总称，研究如何应用数学知识到其它范畴（尤其是科学）的数学分枝，

可以说是纯数学的相反。包括微分方程、向量分析、矩阵、傅里叶变换、复变分

析、数值方法、概率论、数理统计、运筹学、