数字信号处理1.ppt

例1-25考虑一个因果系统，其输入输出满足差分方程y(n)=0.5y(n-1)+x(n)显然，其系统函数为因系统是因果系统，故其收敛域为|z|0.5。该系统的单位脉冲响应为因h(n)为无限长，故为IIR系统。1.6.6系统频率响应的意义为了研究离散线性系统对输入频谱的处理作用，有必要研究线性系统对复指数或正弦序列的稳态响应，即系统的频域表示法。对于稳定系统，如果输入序列是一个频率为ω的复正弦序列：x(n)=ejωn-∞n∞线性时不变系统的单位脉冲响应为h(n)，则其输出为式中:因此y(n)=ejωnH(ejω)(1-125)上式表明，当线性时不变系统输入是频率为ω的复正弦序列时，输出为同频复正弦序列乘以加权函数H(ejω)。显然，H(ejω)描述了复正弦序列通过线性时不变系统后，幅度和相位随频率ω的变化。换句话说，系统对复正弦序列的响应完全由H(ejω)决定。故称H(ejω)为线性时不变系统的频率响应。线性时不变系统的频率响应是其单位脉冲响应的傅里叶变换。线性时不变系统的频率响应H(ejω)是以2π为周期的连续周期函数,是复函数。它可以写成模和相位的形式式中，频率响应的模|H(ejω)|叫做振幅响应（或幅度响应），频率响应的相位arg|H(ejω)|叫做系统的相位响应。系统频率响应H(ejω)存在且连续的条件是h(n)绝对可和，即要求系统是稳定系统。例1-27设输入为根据式（1-125），的响应为对的响应为根据线性系统的叠加原理可知系统对正弦输入Acos(ω0n+φ)的响应为(1-126)如果h(n)是实序列，则可证明H(ejω0)满足共轭对称条件，即因此有:将这些关系式代入式(1-126)，可得响应为即(1-127)从这个例子可以看出，当系统输入为正弦序列，输出为同频的正弦序列，其幅度受频率响应幅度|H(ejω)|加权，而输出的相位则为输入相位与系统相位响应之和。这正是线性时不变系统的基本特性。正因如此，信号和系统的频域（傅里叶变换）表示法在离散线性系统中是很有用的。线性时不变系统在任意输入情况下，输入与输出两者的傅里叶变换间的关系，可通过对卷积公式（1-42）两端取傅里叶变换，并利用表1-3傅里叶变换性质10得到F［y(n)］=F［x(n)*h(n)］即Y(ejω)=X(ejω)H(ejω)(1-128)H(ejω)就是式（1-111）表示的系统的频率响应。由式（1-128）得知，对于线性时不变系统，其输出序列的傅里叶变换等于输入序列的傅里叶变换与系统频率响应的乘积。例1-28设有一系统，其输入输出关系由以下差分方程确定设系统是因果的。（1）求该系统的单位脉冲响应；（2）由(1)的结果，求输入x(n)=ejπn的响应。解（1）对差分方程两端分别进行Z变换可得系统函数：系统函数H(z)仅有一个极点，z1=1/2，因为系统是因果的，故H(z)的收敛域必须包含∞，所以收敛域为|z|1/2。该收敛域又包括单位圆，所以系统也是稳定的。对系统函数H(z)进行Z反变换，可得单位脉冲响应为或（2）解法一：系统的频率响应为由于系统是线性时不变且因果稳定的，故当输入x(n)=ejπn时，应用公式（1-125），可得输出响应为解法二：1.6.7频率响应的几何确定法观察式（1-115）可以发现，一个N阶的系统函数H(z)完全可以用它在Z平面上的零、极点确定。由于H(z)在单位圆上的Z变换即是系统的频率响应，因此系统的频率响应也完全可以由H(z)的零、极点确定。频率响应的几何确定法实际上就是利用H(z)在Z平面上的零、极点，采用几何方法直观、定性地求出系统的频率响应。式（1-115）已表示出H(z)的因式分解，即用零、极点表示为(1-132)假设M=N，这时用z=ejω代入，即得系统的频率响应为(1-133)