高中数学同步课件 椭圆简单几何性质的综合应用.pptxVIP

第二课时椭圆简单几何性质的综合应用第二章§1椭圆1.2椭圆的简单几何性质

课标要求1.拓展椭圆的几何性质.2.能解决与几何性质有关的最值(范围)问题.3.利用椭圆的几何性质解决一些简单的实际问题.

椭圆上哪一点到椭圆中心的距离最大？哪一点到椭圆中心的距离最小？让我们继续挖掘拓展椭圆的几何性质吧！引入

课时精练一、椭圆几何性质的拓展二、求椭圆离心离的最值或范围三、椭圆中与几何性质有关的最值问题课堂达标内容索引四、椭圆简单几何性质的实际应用

椭圆几何性质的拓展一

∴当x0＝0时，|OP|最小＝b，当x0＝±a时，|OP|最大＝a.

1.椭圆上到中心的距离最小的点是____轴的两个端点，到中心的距离最大的点是____轴的两个端点.知识梳理短长

3.椭圆上到焦点的距离最大和最小的点分别是长轴的两个端点，最大值为________，最小值为________.4.O为长轴中点，短轴中点，F1F2中点.5.P为短轴端点时，∠F1PF2最大.a＋ca－c

温馨提示

例1由椭圆的定义，可得|PF1|＋|PF2|＝2a，|F1F2|＝2c，

当P为椭圆短轴端点时，∠F1PF2最大.思维升华

训练1

求椭圆离心率的最值或范围二

例2法一(利用基本不等式)不妨设|PF1|＝m，|PF2|＝n，因为∠F1PF2＝90°，所以m2＋n2＝|F1F2|2＝4c2.而m＋n＝2a?m2＋2mn＋n2＝4a2.由基本不等式：2mn≤m2＋n2，可知4a2≤m2＋(m2＋n2)＋n2＝2(m2＋n2)，

法二(利用焦半径公式)设P(x1，y1)，由焦半径公式知|PF1|＝a＋ex1，|PF2|＝a－ex1.因为∠F1PF2＝90°，所以|PF1|，|PF2|，|F1F2|满足勾股定理.

法三(利用余弦定理)设椭圆短轴的一个端点为B.由于椭圆上存在点P，使∠F1PF2＝90°，则∠F1BF2最大且为钝角或直角.于是cos∠F1BF2≤0.

法四(利用数形结合)如图，设椭圆短轴的一个端点为B.要使∠F1BF2为钝角或直角(即使得椭圆上存在点P，使∠F1PF2＝90°)，显然需有OF2≥OB，即c≥b.此时，∠OBF2≥45°，即∠F1BF2≥90°，当点P沿椭圆运动时才会出现∠F1PF2为直角的情况.所以c2≥b2＝a2－c2，于是a2≤2c2.

思维升华求离心率的取值范围，关键在于需要找到一个或多个限制a，b，c的不等式，即要构造一个关于a，b，c的不等式或不等式组.

训练2√由题意可知A(4，0).设点P(x，y)，因为B(1，0)，A(4，0)，|PA|＝2|PB|，所以点P满足的轨迹方程为

√设F1(－c，0)，F2(c，0)，由椭圆的定义可得|PF1|＋|PF2|＝2a.可设|PF2|＝t(t＞0)，可得|PF1|＝λt，即有(λ＋1)t＝2a.①

椭圆中与几何性质有关的最值问题三

例3√

易知点A(3，0)是椭圆的右焦点.所以|PM|2＝|AP|2－|AM|2＝|AP|2－1，所以|AP|越小，|PM|就越小.当P为椭圆的右顶点时，|AP|取得最小值2，

思维升华与椭圆有关的最值问题解法主要有：(1)定义法.(2)几何法.(3)基本不等式.(4)函数法.

训练3√

√

椭圆简单几何性质的实际应用四

例4√(1)(多选)嫦娥奔月是中华民族的千年梦想.2020年12月我国嫦娥五号“探月工程”首次实现从月球无人采样返回.某校航天兴趣小组利用计算机模拟“探月工程”，如图，飞行器在环月椭圆轨道近月点制动(俗称“踩刹车”)后，以vkm/s的速度进入距离月球表面nkm的环月圆形轨道(月球的球心为椭圆的一个焦点)，环绕周期为ts，已知远月点到月球表面的最近距离为mkm，则√

(2)(多选)2021年2月10日19时52分，首次火星探测任务“天问一号”探测器在火星附近一点P变轨进入以火星球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ(环火轨道)绕火星飞行，2021年2月24日6时29分，“天问一号”探测器成功实施第三次近火制动，在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ(火星停泊轨道)，且测得该轨道近火点m千米、远火点n千米，火星半径为r千米，若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，则下列关系中正确的是√√

思维升华解决和椭圆有关的实际问题的步骤(1)通过数学抽象，找出实际问题中涉及的椭圆，将原问题转化为数学问题.(2)确定椭圆的位置及要素，并利用椭圆的方程或几何性质求出数学问题的解.(3)用解得的结果说明原来的实际问题.

训练4(1)(多选)如图所示，“嫦娥五号”月球探测器飞行到月球附近时，首先在以月球球心F为圆心