(解析版)2022-2023学年杨浦区同济大学一附中高二(下)期中数学试卷.docx

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2022-2023学年上海市杨浦区同济大学一附中高二(下)期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、填空题(1—6题每小题4分,7—12每小题4分,满分54分)

1.(4分)若,α是第二象限角,则cosα=.

【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式即可求解.

【解答】解:因为,α是第二象限角,

所以cosα=﹣=﹣=.

故答案为:.

2.(4分)已知=(2,﹣1,3),=(﹣4,2,x),且∥,则x=﹣6.

【分析】利用向量共线的充要条件列出方程存在实数λ使得即解方程求出x的值.

【解答】解:因为,且,

所以存在实数λ使得

解得x=﹣6.

故答案为﹣6.

3.(4分)若复数z=(1+mi)(2﹣i)(i是虚数单位)是纯虚数,则实数m的值为﹣2.

【分析】根据纯虚数的概念,确定复数的实部和虚部满足的条件即可.

【解答】解:z=(1+mi)(2﹣i)=2+m+(m﹣1)i,

∵复数z=(1+mi)(2﹣i)(i是虚数单位)是纯虚数,

∴2+m=0,

即m=﹣2,

故答案为:﹣2.

4.(4分)计算=2.

【分析】直接由无穷递缩等比数列所有项和公式求解.

【解答】解:==.

故答案为:2.

5.(4分)已知f(x)=cos2x,则f′(x)=﹣2sin2x.

【分析】利用复合函数的导数求法求解.

【解答】解:令u=2x,则y=cosu,u=2x;

y′=(cosu)′?u′=﹣2sin2x.

故答案为:﹣2sin2x.

6.(4分)我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米1534石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得254粒内夹谷28粒,则这批米内夹谷约为169.1石(精确到小数点后一位数字)

【分析】根据抽样比例求出这批米内夹谷的多少.

【解答】解:根据题意,这批米内夹谷为

1534×≈169.1(石).

故答案为:169.1.

7.(5分)已知,则=.

【分析】先求出f(2+h)﹣f(2),然后代入中求解即可.

【解答】解:因为,

所以,

所以.

故答案为:.

8.(5分)若双曲线﹣=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x,则双曲线的离心率e=.

【分析】根据双曲线的渐近线方程为y=±x,求出a,b之间的关系,再代入离心率e结合a,b,c之间的关系即可求出结论.

【解答】解:因为双曲线﹣=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x,

可得:=,

∴e===.

故答案为:.

9.(5分)在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,点A到平面A1DB的距离为.

【分析】利用等体积法,即=,求点A到平面A1DB的距离.

【解答】解:构造三棱锥A﹣A1DB,并且有=,

因为=sh=××1×1×1=,

所以==.

设点A到平面A1DB的距离为x,

又因为=×SA1BD×x=×××x=,

所以x=,即点A到平面A1DB的距离为.

故答案为:

10.(5分)函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图像如图所示,以下结论正确的序号是(1)(3)(4).

(1)﹣3是函数y=f(x)的极值点;

(2)﹣1是函数y=f(x)的极小值点;

(3)y=f(x)在区间(﹣3,1)上严格增;

(4)y=f(x)在x=0处切线的斜率大于零.

【分析】根据已知条件,利用导数研究函数的极值,即可求解.

【解答】解:当x∈(﹣∞,﹣3)时,f(x)<0,当x∈(﹣3,+∞)时,f(x)≥0,

故﹣3是函数y=f(x)的极值点;﹣1不是函数y=f(x)的极小值点;

y=f(x)在区间(﹣3,1)上严格增;

所以(1)(3)正确,(2)错误;

由图象可知,f(0)>0,

则y=f(x)在x=0处切线的斜率大于零,故(4)正确.

故答案为:(1)(3)(4).

11.(5分)若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则|OP|2+|PF|2的取值范围为.

【分析】设P(x,y),则,由两点距离公式即可得所求取值的函数,进而讨论范围,即可得出答案.

【解答】解:由题意得O(0,0),F(﹣1,0),

设P(x,y),则,

则.

故答案为:.

12.(5分)已知数列{an}为严格递增数列,且对任意n∈N,n≥1,都有an∈N且an≥1.若对任意n∈N,n≥1恒成立,则a2021﹣a1999=66.

【分析】根据题意,分析可得a1=2,进而迭代求出a2,a3,……a1458的值,结合数列严格递增的定义可得a1292=2021,a1270=1999,由此可得a2021和a1999的值,据此计算可得答案.

【解答】解:根据题意,若对任意n∈N,n≥1恒成立,则=3,

又由an≥1,且数列{an}为严格递增数列,则a1=1或a1=2,

若a1=1,则有=a1=3,两者相矛

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