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24.7(2)平面向量的分解

24.7(2)平面向量的分解

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24.7(2)平面向量的分解

24.7平面向量的分解(2)

一、教学内容分析

本节课研究如何将一个向量表示为两个给定向量的线性组合、画一个向量在已知两个不平行向量方向上的分向量，为向量知识的进一步运用进行奠基．

二、教学目标设计

1.知道向量的分解式，会画平面内一个向量在已知两个不平行向量方向上的分向量.

2.在知识形成和运用过程中，体会向量的线性组合与分解的的辩证关系，体会数形结合、化归等数学思想方法.

三、教学重点及难点

画一个向量在已知两个不平行向量方向上的分向量;

向量的线性组合与分解的的辩证关系.

四、教学用具准备

三角尺、圆规

五、教学流程设计

复习引入

复习引入

巩固练习

布置作业

课堂小结

探索新知

六、教学过程设计

（一）复习引入

想一想

在图一中，任取一点Z作向量能用的线性组合表示吗？

图一

根据向量加法的意义，所得的和向量是向量与的合成，如果是两个不平行的向量，（、是实数），那么向量就是向量与的合成.用的线性组合表示向量，也可以说是对向量分解，这时，向量与是向量分别在方向上的分向量，是向量关于的分解式.

(二)探索新知

例题4如图二：已知平行四边形ABCD，点E、F在边AB上，AE=EF=FB，点P是边AD的中点；直线EG、FH都与AD平行，分别交DC于点G、H；直线PQ与AB平行，分别交EG、FH、BC于点O、M、Q.设试用的线性组合表示向量：、、、、

图二

解：略

「说明」如例题4中，分别在方向上的分向量是和；关于的分解式是.

思考

给定两个不平行的向量，对于平面内任意一个向量，都可以确定它关于的分解式吗？

图三

如图三，在平面内取一点O，作，，；再作直线OA、OB.

设点C不在直线OA和OB上，过点C分别作直线OA、OB的平行线，由于向量不平行，可知所作两直线分别与直线OB、OA有唯一的交点，记为N、M.作向量、.

因为，所以存在唯一的实数，使；

因为，所以存在唯一的实数，使.

而四边形OMCN是平行四边形，因此

即

如果点C在直线OA或OB上，那么或.这时得

或

所以关于、的分解式总是确定的.

「说明」由此可知，平面上任意一个向量都可以在给定的两个不平行向量的方向上分解.用上面的方法画图，可以作出这个向量在给定的两个不平行向量的方向上的分向量.

BOA图四OA例题5如图四，已知向量和

B

OA

图四

OA

求作：（1）向量分别在方向上的分向量；

（2）向量分别在方向上的分向量.

例题6如图五，已知平行四边形ABCD，点M、N分别是边DC、BC的中点，射线AM与BC相交于点E.设，，分别求向量、、关于的分解式.

图五

（三）巩固练习

1．如图六，已知平行四边形ABCD，点M、N是边DC、BC的中点，设，分别求向量、关于、的分解式.

图六

2．如图七，已知平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，设，分别求向量、、、关于、的分解式.

图七

（四）课堂小结

（五）作业布置：练习24.7（2）1,2,3全体同学做，4部分学生做