2023-2024学年上海杨浦区高二下学期数学期末区统考试卷及答案（2024.05）.docx

PAGE

PAGE6

杨浦区2023-2024学年第二学期高二年级数学期末统考

2024.06

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）

1．抛物线的焦点坐标是________．

2．直接的倾斜角大小是________．

3．已知圆的方程是，则圆心的坐标是________．

4．平行直线及之间的距离是________．

5．某射击运动员平时训练成绩的统计结果如下：

命中环数

6

7

8

9

10

频率

0.1

0.15

0.25

0.3

0.2

如果这名运动员只射击一次，命中的环数大于8环的概率是________．

6．如图，一个圆锥形杯子，杯口半径和杯子深度都是4厘米，如果将该杯子装满饮料，则可以装________立方厘米．

7．已知，，若，则________．

8．同时掷两颗骰子，所得点数相同的概率是________．

9．学校开展国防知识竞赛，对100名学生的竞赛成绩进行统计，发现这100名同学的成绩都在的范围内，可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为的范围内，可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为，，，，，图中________．

10．在平行六面体中，点分别在线段和上，且，，若，则的值是________．

11．已知数列是首项是1，公比为的等比数列，数列是通项公式是．设双曲线的离心率为且，则当_______时，最大．

12．早在公元5世纪，我国数学家祖暅就提出：“幂势既同，则积不容异”．如图，抛物线的方程为，过点抛物线的切线（的斜率不为0），将抛物线、直线及轴围成的阴影部分绕轴旋转一周，所得的几何体记作，利用祖暅原理，可得出几何体的体积为________．

二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）

13．“”是“直线与直线互相垂直”的（）．

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充要条件 D．既非充分也非必要条件

14．设是两条不同的直线，是一个平面，若且，则的位置关系是（）．

A．相交 B．平行 C．异面 D．不能确定

15．已知事件与互斥，它们都不发生的概率为，且，则（）．

A． B． C． D．

16．如图，已知正方体的棱长为1，点为棱的中点，点在正方形内部（不含边界）运动，给出以下三个结论中，正确的个数是（）．

①存在点满足；

②存在点满足与平面所成角的大小为；

③存在点满足.

A．0 B．1 C．2 D．3

三、解答题

17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

设数列为等差数列，其公差为，前项和为．

（1）已知，，求及；

（2）已知，，求．

18．（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）

如图，三棱柱中，，，垂直于平面．

（1）求异面直线与所成角的大小；

（2）求点到平面的距离．

19．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）

某篮球特色学校调查学生投篮技能情况，请每个学生投篮5次并记录进球数，随机抽取高一年级和高二年级各100名学生的进球数作为样本，如果统计如下（其中，）；

进球数

0

1

2

3

4

5

高一人数

4

2

42

12

高二人数

3

1

12

44

33

7

（1）请写出高二年级样本的中位数；

（2）若高一年级样本的平均数3.2，求的值；

（3）在这200名学生中，高一高二年级各选取1人，若“至少有一个人的进球数为2”的概率是40.16%，求的值；

20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）

端午节吃粽子，用箬竹叶包裹而成的三角粽是上海地区常见的一种粽子，假设其形状态是一个正四面体，如图记作正四面体，设棱长为．

（1）求证：；

（2）求箬竹叶折出的二面角的大小；

（3）用绳子捆扎三角粽，要求绳子经过正四面体的每一个面、不经过顶点，并且绳子的起点和终点重合．请设计一种捆扎三角粽的方案，使绳子长度最短（不计打结用的绳子），请在图中作出绳子捆扎的路径，并说明理由．

21．（本题满分18分，第1小题满分2分，第2小题满分8分，第3小题满分）

如图，已知椭圆的方程为，点分别是椭圆的左、右顶点，点的坐标是，过点的动直线交椭圆于点（点的横坐标小于点的横坐标）．

（1）求椭圆焦点的坐标；

（2）是否存在常数，使为定值，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

（3）当设直线的斜