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第三讲圆幂定理，圆中比例线段

圆幂定理是初中平面几何中重要定理之一，在有关计算和证明中应用非常多，尤其是在证明圆中线段

比例式（或等积式）时，能有效地考查学生综合运用相似形和圆的有关知识分析、解决问题的能力，因而

成为市中考及数学竞赛命题的一个热点，切实加强这方面知识的复习与训练，全面掌握这类问题

的证明思路和方法，对每一个同学都非常重要.

此外，证明圆中线段比例式（或等积式）的基本思路有(1)利用平行线分线段成比例定理；(2)利用相

似三角形给出证明；(3)利用圆幂定理给出证明；(4)利用面积或三角函数给出证明.

一、基础知识

1、相交弦定理

如果圆内两条弦AB和CD相交于点P，那么PA·PB＝PC·PD（如下图1）；

2、割线定理

如果从圆外一点P向圆引割线PAB和PCD，那么PA·PB＝PC·PD（如下图2）；

3、切割线定理

如果从圆外一点P向圆引割线PAB和切线PC，那么PA·PB＝PC2（如下图3）；

上述三个定理统称为圆幂定理.实际上，可以把切割线定理看作是割线定理的极限情形，于是上述三

个结论可以合并为：如果交点为P的两条直线与圆O相交于A、B与C、D，那么就有PA·PB＝PC·PD，

这里P、A、B共线及P、C、D共线；

二、例题

例1（★）已知，如图AB是⊙O的弦，P是AB上一点，AB＝10cm，PA＝4cm，OP＝5cm，求：⊙O的

半径.

例2（★）如图，已知⊙O和⊙O相交于CD两点，其外公切线AB分别切⊙O、⊙O于点AB，求证：

1212

直线CD平分线段AB.

例3（★）如图，E是圆内弦AB、CD的交点，直线EF∥CB，交AD的延长线于F，FG切圆于G，连结

EG，求证：∠FEG＝∠FGE.

例4（★★）如图，PA切⊙O于A，PBC是⊙O的割线，M是PA的中点，MC交⊙O于N，PN的延长

线交⊙O于D，连结BD，求证：PA∥BD;

例5（★★）如图，已知B是线段AC上任一点，在AC同侧分别以AB、AC为直径作两个半圆AmB、

AnC，若CD切半圆AmB于点D，EB⊥AC，B为垂足，且交半圆AnC于E，M是DE的中点，求证：

CM⊥DE.

例6（★★）如图，在⊿ABC中，ABAC，如果⊿ABC的内切圆把BC边上的中线AD三等分，求证：

BC＝2AC；

例7（★）图中，AB是⊙O的直径，直线MN切⊙O于点C，AD⊥MN于D，AD交⊙O于E，AB的延

2

长线交MN于点P，求证：AC＝AE·AP；

例8（★）如图，⊿ABC中，∠A的平分线AD交BC于D，⊙O过点A，且和BC切于点D，和AB、

AC分别