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函数的单调性与奇偶性

一、函数的单调性

初中时我们学过，对于一次函数y＝x+1，y随着x的增大而增大，我们称之为增函数；y＝-x+l，

y随着x的增大而减小，我们称之为减函数。

那么如何定义呢?用数学符号语言如何叙述呢?

1．定义：一般地，设函数f(x)的定义域为D：

在定义域内的某个区间上任取x，x，且x＜x，若都有f(x)＜f(x)，则称f(x)是单调增函数；

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在定义域内的某个区间上任取x，x，且x＜x，若都有f(x)＞f(x)，则称f(x)是单调减函数；

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若函数y＝f(x)在某个区间上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间上具有单调

性，这一区间叫做y＝f(x)的单调区间。

理解：初中的说法是描述性的语言，通俗易懂；而高中的定义体现了自变量的变化关系决定

因变量的变化关系。分为两个层次，一是在哪个范围上研究，二是符号语言是怎么样的。今后学

习奇偶性，周期性都是这样定义的。

注：

(1)单调函数是对整个定义域而言的，单调性是一个局部概念，是针对定义域内某个区间而言

的，通常谈到单调性都会注明单调区间。

(2)单调区间能写闭区间的最好写闭区间，若在区间的端点处没有定义，则写成开区间。

比如，反比例函数不是单调函数，但是它在(-∞,0)上是减函数，在(0，+∞)上也是减函

数。我们把

(-∞，0)和(0，+∞)叫的单调减区间。若表示为(-∞,0)∪(0,+∞是)不对的。

如右图所示的函数，单调区间是R，它是单调函数。

若去掉点(0，1)，则单调区间是(-∞，0)∪(0，+∞)。

例1．证明函数在[0，+∞）上是增函数。

分析：判断函数在某一区间上的单调性，从图象上观察是一种常用

而又较为粗略的方法，严格证明，需要从单调函数的定义入手。

证明：设x≥0，x＞0，且x＜x，

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则，

∵0≤xx,∴x-x0,

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∴f(x)-f(x)0即f(x)f(x)

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由定义知，在[0，+∞)上是增函数。

注：

(1)步骤：设值(设在所证的区间上)，作差，化积，定号，结论。

(2)不能利用x＜x,∴，这是利用了的单调性。

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(3)分子有理化对无理式变形是常用的一种方法。

例2．讨论在(0，+∞)上的单调性

解：设0＜x＜x，则

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∵0＜x＜x∴x-x＜0，xx＞0

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当xx＞1时，x,x∈[1,+∞],f(x)-f(x)＜0即f(x)＜f(x)；

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当0＜xx＜1时，x，x∈(0，1]，f(x)-f(x)＞0即f(x)＞f(x)；

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所以，在[1，+∞)上是增函数，在(0，1]上是减函数。

另解：数形结合