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2014年全国硕士研究生招生考试《数学二》真题及解析

1.【单项选择题】

A.(2，+∞)

B.(1，2)

C.(，1)

D.(0，)

正确答案：B

参考解析：

?

2.【单项选择题】下列曲线中有渐近线的是（）．

A.y=x+sin?x

B.y=x2+sinx

C.y=x+sin

D.y=x2+sin

正确答案：C

参考解析：

?

3.【单项选择题】设函数f(x)具有二阶导数，g(x)=f(0)(1-x)+f(1)x，则在区间[0，1]上（）．

A.当f’(x)≥0时，f(x)≥g(x)

B.当f(x)≥0时，f(x)≤g(x)

C.当f”(x)≥0时，f(x)≥g(x)

D.当f”(x)≥0时，f(x)≤g(x)

正确答案：D

参考解析：令F(x)=g(x)-f(x)=f(0)(1-x)+f(1)x-f(x)，则F(0)=F(1)=0，

F(x)=-f(0)+f(1)-f’(x)，F”(x)=-f”(x)．

若f”(x)≥0，则F”(x)≤0，此时F(x)在[0，1]上为凸的．

又F(0)=F(1)=0，所以当x∈[0，1]时，F(x)≥0，从而g(x)≥f(x)．

4.【单项选择题】（）．

A.

B.

C.

D.

正确答案：C

参考解析：

?

5.【单项选择题】（）.

A.1

B.

C.

D.

正确答案：D

参考解析：

?

6.【单项选择题】

A.u(x，y)的最大值和最小值都在D的边界上取得

B.u(x，y)的最大值和最小值都在D的内部取得

C.u(x，y)的最大值在D的内部取得，最小值在D的边界上取得

D.u(x，y)的最小值在D的内部取得，最大值在D的边界上取得

正确答案：A

参考解析：

由题意知，B≠0，A，C互为相反数．

由于AC—B20，可知u(x，y)在D内无极值．而最值只可能在极值点、不可导点和区间端点(或区域边界)处取得，因此可知u(x，y)的最大值和最小值均在区域D的边界处取得．

7.【单项选择题】

A.(ad—bc)2

B.-(ad—bc)2

C.a2d2-b2c2

D.b2c2-a2d2

正确答案：B

参考解析：利用行列式的展开定理，按列步步展开，可得

?

提示：本题也可用特殊值代入，通过排除，从而得出正确答案．令a=d=0，可得行列式值

为-(bc)2，排除A、D项；令b=c=0，可得行列式值为-(ad)2，排除C项，故B项正确．

8.【单项选择题】设α1，α2，α3均为三维向量，则对任意的常数k，l，向量组α1+kα3，α2+lα3，线性无关是向量组α1，α2，α3线性无关的（）．

A.必要非充分条件

B.充分非必要条件

C.充分必要条件

D.既非充分也非必要条件

正确答案：A

参考解析：

?

9.【填空题】_______.

正确答案：

参考解析：

【解析】

?

10.【填空题】设f(x)是周期为4的可导奇函数，且f’(x)=2(x-1)，x∈[0，2]，则f(7)=_______.

正确答案：

参考解析：1

【解析】由题意知，当x∈[0，2]时，

又f(x)是周期为4的奇函数，可知f(0)=C=0，f(7)=f(-1)=-f(1)=1．

11.【填空题】_______.

正确答案：

参考解析：

【解析】解法一将方程两边对x，y分别求偏导数，得

?

12.【填空题】曲线L的极坐标方程是r=θ，则L在点(r，θ)=()处的切线的直角坐标方程是_______.

正确答案：

参考解析：

【解析】

?

?

13.【填空题】一根长度为1的细棒位于x轴的区间[0，1]上，若其线密度p(x)=-x2+2x+1，则该细棒的质心横坐标=_______.

正确答案：

参考解析：

【解析】

?

?

14.【填空题】设二次型f(x1，x2，x3)=的负惯性指数是1，则a的取值范围是_______.

正确答案：

参考解析：[-2，2]

【解析】

配方法：f(x1，x2，x3)=(x1+ax3)2-(x2-2x3)2+(4-a2)

由于二次型负惯性指数为1，所以4-a2≥0，故-2≤a≤2．

15.【解答题】

参考解析：

16.【解答题】已知函数y=y(x)满足微分方程x2+y2y’=1-y’，且y(2)=0，求y(x)的极大值与极小值．

参考解析：由x2+y2y=1-y，得

?

17.【解答题】设平面区域D={(x，y)|1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0}．

参考解析：区域D关于y=x对称，且满足轮换对称性，即

?

18.【解答题】

参考解析：

19.【解答题】设函数f(x)，g(x)在区间[a，b]上连续，且f(x)单调增加，0