第1讲 自招数论一（整除约倍）（教师版）.docxVIP

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PAGE11/自招A六年级秋季第一讲

自招数论一第一讲

自招数论一

第一讲

重点

掌握整数、分数的最大公因数和最小公倍数的求法；

理解并应用因数个数、因数和公式；

理解整除特性及基本性质；

难点

分数的最大公因数和最小公倍数；

整除基本性质的应用.

三位数能被、、、整除，则.

末尾，或或，则或或.

整除

正整数的多项式表示（位值原理）：

给定一个位正整数，其各位上的数字分别记为．

此数常常记为（）

而我们通常将正整数表示成关于的次多项式，即：

，

其中，，且．

整数的整除性特征：

被整除：末位数字能被整除．

被整除：末位数字能被整除．

被整除：末两位数字能被整除．

被整除：末两位数字能被整除．

被整除：末三位数字能被整除．

被整除：末三位数字能被整除．

被整除：各位数字之和能被整除．

被整除：各位数字之和能被整除．

被整除：⑴奇数位数字之和与偶数位数字之和的差能被整除；

⑵从右到左每两位数字分成一节，各节之和能被整除；

⑶在千位和百位之间把数分成两节形成两个数，这两个数之差能被整除．

被整除：在千位和百位之间把数分成两节形成两个数，这两个数之差能被整除．

被、、整除:如果一个数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差能

被整除.这个数就能被整除.

整除的一些基本性质

若且，则或

若，，则

若，为整数，则

若，，则

若，且与互质，则.

特别地，若质数，则必有或；若质数，则.

若，，且与互质，则

★☆☆☆☆

⑴能被整除的六位数的个数是个.

⑵用数码组成的没有重复数字的四位数中，能被整除的共有个.

⑶两个四位数和相乘的结果能被整除，则，.

⑷已知为两位数，且满足，则这个两位数为.

⑴被整除的特性，末尾开始两位一段每段和能被整除，则，

即，所以或或，共个.

⑵被整除的特性，奇数位之和减偶数位之和的差能被整除，因为，

则满足条件的数为，，，，，，，，

共个.

⑶，因为不能被整除，则，解得，

此时不能被整除，所以，得.

⑷由题意得，则，所以.

★★☆☆☆

已知，，，，求的值.

因为，所以能被整除，则；

因为，所以能被整除，则；

因为，所以或，不能作为首位，所以；

又因为，所以能被整除，所以.

★★☆☆☆

⑴均为整数，若，求证：.

⑵设都是整数，且，，证明：.

⑴且

，即

，所以

得证.

⑵∵

∴

又∵

∴

★★☆☆☆

⑴证明：设，若，则.

⑵若，，且存在整数使得，试证明：.

⑴

.

⑵由条件，设，，其中为整数．

则，∴．

因数与倍数

公因数和最大公因数

公因数：如果和都是正整数，且那么叫做的公因数．

最大公因数：公因数中最大的数叫做的最大公因数，一般用符号来表示，即．

如：的因数是；的因数是：，

和公有的因数有：，其中最大的公因数是．

公倍数和最小公倍数

公倍数：如果和都是正整数，且那么叫做的公倍数．

最小公倍数：公倍数中最小的数叫做的最小公倍数，一般用符号来表示，即．

如：的倍数是；的倍数是：，

和的公倍数有：，其中最小公倍数是．

求整数的最大公因数和最小公倍数的方法

分解素因数法：

例如：，，

所以，

短除法：

例如：，所以；

最大公因数的性质：

几个数都除以它们的最大公因数，所得的几个商是互素数；

几个数的公因数，都是这几个数的最大公因数的因数；

几个数都乘以一个自然数，所得的积的最大公因数等于这几个数的最大公因数乘以．

最大公因数公有素因数最低次幂乘积；最小公倍数所有素因数最高次幂乘积.

最大公因数、最小公倍数与两数之积的关系

两数之积最大公约数最小公倍数．

即对于两正整数，必有．

分数的最大公因数和最小公倍数

分数的最大公因数：分母是原分母的最小公倍数，分子是原分子的最大公因数

如：．

分数的最小公倍数：分母是原分母的最大公因数，分子是原分子的最小公倍数

如：．

因数个数与因数和

Step1：将分解素因数，并写成标准式．

(为合数的素因数)；

Step2：原数因数的个数：；

所有因数的和：；

例如：，

因数的个数为：；

所有因数的和为：．

注：完全平方数有奇数个因数．（反之也成立，有奇数个因数的数是完全平方数）

如：，，，，，，它们均有奇数个因数．

★★★☆☆

⑴的最大公因数是，最小公倍数是.

⑵，和的最小公倍数是，最大公因数是.

⑶的正约数有个，所有正约数的和为，所有正约数

的倒数的和为.

⑴

⑵，

⑶，因数个数（个），