第4讲 有理数综合运算技巧（教师版）.docx

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PAGE11/自招A六年级秋季第四讲

有理数综合运算技巧第四讲

有理数综合运算技巧

第四讲

重点：

掌握分数裂项的技巧，学会用分数裂项解相关巧算；

掌握整数裂项及相关题型；

.

原式.

.

原式

.

有理数计算复习

★★☆☆☆

计算：⑴

⑵

⑴原式

⑵原式

★★★☆☆

计算：⑴

⑵

⑴原式

⑵分子

分母

所以，原式

分数与整数裂项

一、分数的裂项：

⑴“裂差”型计算

①对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即型

由，可得：．

常用形式：；．

②对于分母上为3个连续自然数乘积形式的分数，即：型

由：，

可得：．

【说明】裂差型裂项的三大关键特征：

a.分子全部相同，最简单形式为都是的，复杂形式可为都是(为任意自然数)的，但是只要将提取出来即可转化为分子都是的运算．

b.分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻个分母上的因数“首尾相接”

c.分母上几个因数间的差是一个定值．

⑵“裂和”型计算

常见的裂和型运算主要形式：

【说明】裂和型运算与裂差型运算的对比：

裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目

不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的．

二、整数的裂项：

整数裂项常见的类型就是从一个等差数列中依次取出若干个数相乘形成一项，再求所

有项之和．

解决方法：

⑴先把每一项中最后一个数向后延到所在数列的下一个数，再把每项中最前面一个数

向前伸到所在数列的前一个数（“后延前伸”）；

⑵用它们的差除以“后延前伸”的差，就实现了每一项的裂项；

⑶通过加减抵消实现巧算．

需要注意的是：按照公差向前伸展时，当伸展数小于时，可以取负数，当然是积为负数，减负要加正．当然也可以将这一项不参与裂项．

★☆☆☆☆

⑴.

⑵.

⑶.

⑴原式

⑵原式

⑶原式

★☆☆☆☆

⑴.

⑵.

⑴原式

⑵原式

★★★☆☆

计算：⑴.

⑵

⑶

⑴原式

⑵原式

⑶原式

★★★★☆

计算：⑴

⑵

⑴原式

⑵法一：原式

法二：由题意得，第个式子为

所以，原式

★★☆☆☆

计算：⑴

⑵

⑶

⑴原式

⑵原式

⑶原式

★★★☆☆

证明：

原式

得证.

★★★☆☆

计算：.

原式

计算：

令

则

所以

又令，，则

所以

计算：

⑴

⑵

⑴原式

⑵原式

计算：

原式

计算：

⑴

⑵

⑴原式

⑵原式

计算：

原式

计算：

⑴

⑵

⑴原式

⑵原式

，

原式

计算：

原式

注：也可以找第项的关系，

计算：

因为，

且，

所以，

原式