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高阶导数降阶公式

11.4可降阶的高阶微分方程

有三种容易降阶的高阶方程：

11.4.1型的微分方程

（1）

方程右端只含x，容易看出，只要把作为新的未知函数，那未（1）

式就是新的未知函数的一阶微分方程。两边积分，就得到一个n-1阶的微分方

程

.

同理可得.

依此法继续进行，接连积分n次，便得方程(1)的含有n个任意常数的通解。

例求微分方程的通解

解对所给方程接连积分三次，得

。

这就是所求的通解。

11.4.2型的微分方程

（2）

方程右端不显含未知函数y，如果我们设，那末

而方程就成为.

这是一个关于变量x,p的一阶微分方程。设其通解为。

但是，因此又得到一个一阶微分方程

对它进行积分，便得到方程（2）的通解为

。

例求微分方程

满足初始条件，

的特解。

解所给方程是型的。设y’=p，代入方程并分离变量后，有

.

两端积分，得,

即(),

由条件，得,

所以.

两端再积分，得

又由条件，得,

于是所求的特解为.

11.4.3型的微分方程

(3)

方程中不明显地含自变量x。为了求出它的解，我们令y’=p，并利用复

合函数的求导法则把化为对y的导数，即.

这样，方程（3）就成为。

这是一个关于变量y,p的一阶微分方程。设它的通解为

，

分离变量并积分，便得方程（3）的通解为

。

例求微分方程的通解。

解所给方程不明显地含自变量x，设

,则，

代入方程中，得。

在、时，约去p并分离变量，得。

两端积分，得，

即，或。

再分离变量并两端积分，便得方程的通解为，

或（）。