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高等数学第二章一元函数微分学

第二章一元函数微

分学§导数与微分甲内容要

点一．导数与微分概念1．导

数的定义设函数y?f?x?在点x0的

某邻域内有定义，自变量x在x0处有增

量?x，相应地函数增

量?y?f?x0??x??f?x0?。如果极限lim

数记作f??x0?，或y?，

f?x0??x??f?x0??y?lim存在，则称此极限

值为函数f?x?在x0处的

导?x?0?x?x?0?xx?x0dydf?x?，等。

x?xdxdxx?x00并称函数y?f?x?在点

x0处可导。如果上面的极限不存在，则

称函数y?f?x?在点x0处不可导。导

数定义的另一等价形式，令

x?x0??x，?x?x?x0，则

f??x0??limx?x0f?x??f?x0?

x?x0f?x??f?x0?f?x0??x??f?x0??lim??x?0

x?x0?xf?x??f?x0?f?x0??x??f?x0??lim??x

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?0x?x0?x我们也引进单侧导数概

念。右导数：f???x0??lim?x?x0左

导数：f???x0??lim?x?x0则有f?x?在

点x0处可导?f?x?在点x0处左、右导数

皆存在且相等。2．导数的几何意义

与物理意义如果函数y?f?x?在点

x0处导数f??x0?存在，则在几何上f??x0?

表示曲线y?f?x?在点?x0,f?x0??处的切线

的斜率。切线方程：

y?f?x0??f??x0??x?x0?法线方程：

y?f?x0???1?x?x0??f??x0??0??f?x0?

设物体作直线运动时，路程S与时间t

的函数关系为S?f?t?，如果f??t0?存在，

则f??t0?表示物体在时刻t0时的瞬时速

度。3．函数的可导性与连续性之

间的关系如果函数y?f?x?在点x0

处可导，则f?x?在点x0处一定连续，反

之不然，即函数y?f?x?在点x0处连续，

却不一定在点x0处可导。例如，

y