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导数题型总结知识点高中

一、导数的定义

导数是用来描述函数变化率的概念，它表示函数在某一点附近的平均变化率，即函数值随

自变量变化的速率。导数的定义是在数学上对于函数在某一点的极限定义，即：

设函数y=f(x)，在x=a处可导的充分必要条件是存在有限的数f(a)，使得当x趋近a时，

有

f(a)=lim(Δx→0)(f(a+Δx)-f(a))/Δx

其中f(a)表示函数f(x)在x=a处的导数，Δx表示自变量的增量。函数在x=a处可导的充

分必要条件是该点的左导数和右导数存在且相等。

根据导数的定义，我们可以知道函数在某一点处的导数表示函数在该点处的变化率，在数

学上导数的定义还包括相邻导数之间的关系。在这里我们不再详细阐述，下面我们将重点

讨论导数的性质。

二、导数的性质

1.导数的代数运算性质

导数具有线性性质，即导数的和等于导数的和，导数的积等于导数的积，导数的常数倍等

于常数乘以导数。具体而言，

设函数y=f(x)，g(x)分别在点x=a处可导，c为常数，则有：

(a)(f(x)±g(x))=f(x)±g(x)

(b)(cf(x))=cf(x)

2.复合函数的导数

设函数y=f(u)，u=g(x)两个函数都可导，则复合函数y=f(g(x))在点x处的导数为

f(u)·g(x)，即：

(f(g(x)))=f(g(x))·g(x)

3.反函数的导数

设函数y=f(x)在区间I上有反函数x=g(y)，如果f(x)存在且不等于0，则g(y)=1/f(g(y))。

导数的代数运算性质和复合函数的导数是导数计算的重要基础，对于学生来说，熟练掌握

这些性质对于计算导数是非常有帮助的。

三、导数的计算

为了更好地理解导数的计算，我们将分别从常用函数的导数、隐函数和参数方程的导数、

高阶导数和导数的应用等方面进行详细的讲解。

1.常用函数的导数

(1)常数函数，y=c，其中c为常数，f(x)=c，所以f(x)=0。

(2)幂函数，y=x^n，其中n为常数，f(x)=x^n，所以f(x)=nx^(n-1)。

(3)指数函数，y=a^x，其中a0且不等于1，f(x)=a^x，所以f(x)=a^x·ln(a)。

(4)对数函数，y=log_a(x)，其中a0且不等于1，f(x)=log_a(x)，所以f(x)=1/(x·ln(a))。

2.隐函数和参数方程的导数

当函数不是显式的以自变量x表示时，我们就称它为隐函数，此时我们计算导数需要借助

隐函数的求导公式。

(a)隐函数的导数计算

当我们求解隐函数的导数时，需要利用导数的隐函数公式：

设方程F(x,y)=0确定函数y=f(x)，且y在x处可导，则有：

dy/dx=-∂F/∂x/∂F/∂y

(b)参数方程的导数计算

参数方程是指通过参数方程表示的函数，例如x=f(t)，y=g(t)表示的函数。我们可以通过

参数方程的导数求导。

设函数y=f(x)，x=g(t)，y=h(t)可微，且y=f(x)与x=g(t)的反函数g(x)在x处可导，则有：

dy/dx=dy/dt/dx/dt

3.高阶导数

除了一阶导数外，我们还可以通过对一阶导数再次求导，得到二阶导数，依此类推，可以

得到高阶导数。高阶导数可以帮助我们更好地理解函数的变化趋势，以及判断函数的凹凸

性。

当函数f(x)的一阶导数存在时，f(x)的二阶导数为f(x)=(f(x))，依此类推，f(x)的n阶导

数为f^n(x)。

四、导数的应用

导数在物理、生物、经济等领域都有着广泛的应用，例如函数的极值、曲线的切线、函数

的凹凸性、函数的增减性等问题都可以通过导数的方法来解决。下面我们将分别从函数极

值、函数的图象特征、曲线的切线和函数的增减性等方面来讨论导数的应用。

1.函数极值

当函数的导数存在且为0时，我们可以通过导数的方法来求解函数的极值。

设函数y=f(x)，且f(x)=0，则：

(a)当f(x)0时，函数f(x)在该点处取极小值；

(b)当f(x)0时，函数f(x)在该点处取极大值；

(c)当f(x)=0时，无法判断极值。

2.函数的图象特征

导数可以帮助我们更好地理解函数的图象特征，例如判断函数的平移、伸缩、翻转等性质。

设函数y=f