离散数学第四章一阶逻辑基本概念.pdf

在命题逻辑中，命题是最基本的单位，对简单命题不再进行分解，并且不考虑命题之间

的内在联系和数量关系。因而命题逻辑具有局限性，甚至无法判断一些简单而常见的推

理。考虑下面的推理:

凡偶数都能被2整除；

是偶数。6

所以，6能被2整除。

这个推理是我们公认的数学推理中的真命题，但是在命题逻辑中却无法判断它的正确

性。因为在命题逻辑中只能将推理中出现的三个简单命题依次符号化为p，q，r，将推

理的形式结构符号化为

(p∧q)→r

由于上式不是重言式，所以不能由它判断推理的正确性。为了克服命题逻辑的局限性，

就应该将简单命题再细分，分析出个体词，谓词和量词，以期达到表达出个体与总体的

内在联系和数量关系，这就是一阶逻辑所研究的内容。一阶逻辑也称一阶谓词逻辑或谓

词逻辑。

4.1一阶逻辑的符号化

下面直接仿照1.1来对谓词逻辑进行符号化。

个体词，谓词和量词是一阶逻辑命题符号化的三个基本要素。下面讨论这三个要素。

一、个体词

个体词是指所研究对象中可以独立存在的具体的或抽象的客体。例如，小王，小李，

中国，，3等都可以作为个体词。将表示具体或特定的客体的个体词称作个体常

项，一般用小写英文字母a，b，c…表示；而将表示抽象或泛指的个体词称为个体变

项，常用x，y，z…表示。称个体变项的取值范围为个体域(或称论域)。个体域可

以是有穷集合，例如，{1，2，3}，{a，b，c，d}，{a，b，c，…，x，y，z}，…；也可

以是无穷集合，例如，自然数集合N={0，1，2，…}，实数集合R={x|x是实数}…。有

一个特殊的个体域，它是由宇宙间一切事物组成的，称它为全总个体域。本书在论

述或推理中如没有指明所采用的个体域，都是使用全总个体域。

二、谓词

谓词是用来刻画个体词性质及个体词之间相互关系的词。考虑下面四个命题(或命题

公式):

(1)是无理数。

(2)x是有理数。

(3)小王与小李同岁。

(4)x与y具有关系L.

在(1)中，是个体常项，“…是无理数”是谓词，记为F，并用F()表示(1)中命题。

在(2)中，x是个体变项，“…是有理数”是谓词，记为G，用G(x)表示(2)中命题。在(3)

中，小王，小李都是个体常项，“…与…同岁”是谓词，记为H，则(3)中命题符号化形式

为H(a,b)，其中，a:小王，b:小李。在(4)中，x，y为两个个体变项，谓词为L，(4)的符

号化形式为L(x,y).

同个体词一样，谓词也有常项和变项之分。表示具体性质或关系的谓词称为谓词常

项，表示抽象的、泛指的性质或关系的谓词称为谓词变项。无论是谓词常项或变项

都用大写英文字母F，G，H，…表示，可根据上下文区分。在上面四个命题中，(1)，(2)，

(3)中谓词F，G，H是常项，而(4)中谓词L是变项。一般的，用F(a)表示个体常项a具

有性质F(F是谓词常项或谓词变项)，用F(x)表示个体变项x具有性质F.而用F(a，b)表

示个体常项a，b具有关系F，用F(x,y)表示个体变项x，y具有关系F.更一般的，用

P(x,x,…,x)表示含n(n≥1)个命题变项的n元谓词。n=1时，P(x)表示x具有性质P；n≥2

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时，P(x,x,…,x)表示x,x,…,x具有关系P.实质上，n元谓词P(x,x,…,x)可以看成以

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个体域为定义域，以{0,1}为值域的n元函数或关系。它不是命题。要想使它成为命题，

必须用谓词常项取代P，用个体常项a,a,…,a取代x,x,…,x，得P(a,a,…,a)是命题。

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有时候将不带个体变项的谓词称为0元谓词，例如，F(a)，G(a,b)，P(a,a,…,a)等都