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线性代数第二版答案

第一章：线性方程组

1.1线性方程组的定义和解

1.1.1线性方程组的定义

线性方程组由一组线性方程组成，每个方程表示为:

其中i=1,2,…,m;j=1,2,…,n.

1.1.2线性方程组的解

线性方程组的解是满足方程组中所有方程的解集。线性方

程组有三种可能的解：

1.无解：线性方程组无解的情况。

2.唯一解：线性方程组存在且只有一个解的情况。

3.无穷解：线性方程组存在无限个解的情况。

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1.2线性方程组的矩阵表示

1.2.1线性方程组的矩阵形式

线性方程组可以用矩阵的形式表示：

其中,

是系数矩阵,

是未知数向量，

是常数向量。

1.2.2线性方程组的增广矩阵

线性方程组的增广矩阵是将系数矩阵和常数向量合并构成

的矩阵：

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1.3线性方程组的解的等价性

1.3.1所有线性方程组等价于其增广矩阵的线性方程组

给定一个线性方程组和其对应的增广矩阵，两者的解集是

等价的。

1.3.2线性方程组等价的条件

若两个线性方程组有相同的解，则称它们是等价的。两个

线性方程组等价的条件为：

1.系数矩阵经过初等行变换得到的矩阵相等。

2.增广矩阵经过一系列的初等行变换得到的矩阵相等。

1.4初等行变换和线性方程组的解

1.4.1互换两行

互换线性方程组中的两个方程，不改变线性方程组的解。

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1.4.2用非零常数乘以某一行

用非零常数乘以线性方程组中的某个方程，不改变线性方

程组的解。

1.4.3用某一行的倍数加到另一行

用某一行的倍数加到另一行，不改变线性方程组的解。

1.4.4高斯消元法

高斯消元法是一种通过初等行变换将线性方程组的增广矩

阵化为行阶梯矩阵的方法，从而求出线性方程组的解。

1.5线性方程组解的存在性与唯一性

1.5.1齐次线性方程组的解的存在性与唯一性

齐次线性方程组一定有解，且解的个数等于未知数的个数

减去系数矩阵的秩。

1.5.2非齐次线性方程组的解的存在性与唯一性

非齐次线性方程组存在解的充要条件是常数向量属于系数

矩阵列向量生成的列空间。

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第二章：矩阵及其运算

2.1矩阵和向量的基本概念

2.1.1矩阵的定义

矩阵是一个有限个数的数按矩形排列所组成的一个数组。

2.1.2向量的定义

向量是一个有序数组成的单行矩阵或单列矩阵。

2.2矩阵的运算

2.2.1矩阵的加法

给定两个矩阵A和B，它们的和为一个同型矩阵C，其中C

的每个元素等于A和B对应元素的和。

2.2.2矩阵的数乘

给定一个矩阵A和一个标量k，将A中的每个元素乘以k，

得到一个新的矩阵B。

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2.2.3矩阵的乘法

给定两个矩阵A和B，它们的乘积为一个新的矩阵C，其中

C的第i行第j列的元素等于A的第i行与B的第j列对应元素

相乘后的和。矩阵乘法要求A的列数等于B的行数。

2.3矩阵的转置、方阵和对角矩阵

2.3.1矩阵的转置

给定一个矩阵A，将A的行变为列，列变为行，得到一个

新的