空间向量练习题.doc

空间向量在立体几何中的应用

【知识梳理】1、直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为，那么

〔1〕；〔2〕；〔3〕假设直线的夹角为，那么；

〔4〕；〔5〕；〔6〕假设直线与面的成角为，那么；

〔7〕；〔8〕；〔9〕假设成二面角的平面角为，那么。

2、〔1〕三余弦定理：；

〔2〕三垂线定理〔及逆定理〕：；

〔3〕二面角的平面角定义〔范围〕：；

【小试牛刀】1、A(1，1，-2)、B(1，1，1)，那么线段AB的长度是()

A.1B.2C.3D.4

2、向量a＝(1，2，-2)，b＝(-2，-4，4)，那么a与b()

A.相交B.垂直C.平行D.以上都不对

3.如图，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点.假设=a，=b，=c，那么以下向量中与相等的向量是〔〕

A.－a+b+cB.a+b+c

C.a－b+cD.－a－b+c

4.以下等式中，使点M与点A、B、C一定共面的是

A.B.

C.D.

5.空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于1，点E、F分别是AB、AD的中点，那么等于

A.B.C.D.

6.假设，，与的夹角为，那么的值为

A.17或-1B.-17或1C.-1D.1

7.设，，，那么线段的中点到点的距离为

A.B.C.D.

8.如图，ABCD-A1B1C1D1为正方体，下面结论

A.BD∥平面CB1D1B.AC1⊥BD

C.AC1⊥平面CB1D1

D.异面直线AD与CB1所成的角为60°

9.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2,AA1

那么BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为

A.B.C.D.

10.⊿ABC的三个顶点分别是，，，那么AC边上的高BD长为

A.5B.C.4D.

11.设，，且，那么.

12.向量，，且，那么=________.

13.在直角坐标系中，设A〔-2，3〕，B〔3，-2〕，沿轴把直角坐标平面折成大小为的二面角后，这时，那么的大小为．

14.如图，P—ABCD是正四棱锥，是正方体，其中，那么到平面PAD

的距离为.

15、，求值.

16如下图，直三棱柱ABC—A1B1C1中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA1=2，M、N分别是A1B1、A1A

〔1〕求的长；

〔2〕求cos的值

〔3〕求证：A1B⊥C1M

17.如图，在四面体中，，点分别是的中点．求证：

〔1〕直线面；

〔2〕平面面．

18.〔本小题总分值14分〕如图，点P在正方体的对角线上，∠PDA=60°.

〔1〕求DP与所成角的大小；

〔2〕求DP与平面所成角的大小.

19.〔本小题总分值14分〕一四棱锥P－ABCD的三视图如下，E是侧棱PC上的动点．

〔1〕求四棱锥P－ABCD的体积；

〔2〕是否不管点E在何位置，都有BD⊥AE？证明你的结论;

〔3〕假设点E为PC的中点，求二面角D－AE－B的大小．

参考答案1、C2、C

3.=c+(－a+b)=－a+b+c，应选A.

4.

应选D.

5.∵,,

应选B.

6.B7.B8.D9.D

10.由于，所以,应选A

11.912.3

13.作AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，那么

∵

14.以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系设平面PAD的法向量是，，∴，

取得，

，∴到平面PAD的距离.

15、解：由，又即

由①②有：

16、如图，建立空间直角坐标系O—xyz.

〔1〕依题意得B〔0，1，0〕、N〔1，0，1〕

图∴||=.

图

〔2〕依题意得A1〔1，0，2〕、B〔0，1，0〕、C〔0，0，0〕、B1〔0，1，2〕

∴={－1，－1，2}，={0，1，2，}，·=3，||=，||=

∴cos，=.

〔3〕证明：依题意，得C1〔0，0，2〕、M〔，2〕，={－1，1，2}，={，0}.∴·=－+0=0，∴⊥，∴A1B⊥C1M.

17.证明：〔1〕∵E,F分别是的中点，

∴EF是△ABD的中位线，∴EF∥AD，

∵AD面ACD，EF面ACD，∴直线EF∥面ACD；

〔2〕∵AD⊥BD，EF∥AD，∴EF⊥BD，

∵CB=CD，F是ＢＤ的中点，∴CF⊥BD

又EF∩CF=F,∴BD⊥面EFC，

∵BD面BCD，∴面面.

18.解：如图，以为原点，为单位长建立空间