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实战演练01抽象函数的性质
①抽象函数求值
②抽象函数的单调性与抽象不等式
③抽象函数的奇偶性
④抽象函数的对称性
⑤抽象函数的周期性
⑥抽象函数结合导数的应用
⑦抽象函数性质的综合应用
一、抽象函数的性质
1.周期性:;;
;(为常数);
2.对称性:
对称轴:或者关于对称;
对称中心:或者关于对称;
3.如果同时关于对称,又关于对称,则的周期
4.单调性与对称性(或奇偶性)结合解不等式问题
①在上是奇函数,且单调递增若解不等式,则有
;
在上是奇函数,且单调递减若解不等式,则有
;
②在上是偶函数,且在单调递增若解不等式,则有(不变号加绝对值);
在上是偶函数,且在单调递减若解不等式,则有(变号加绝对值);
③关于对称,且单调递增若解不等式,则有
;
关于对称,且单调递减若解不等式,则有
;
④关于对称,且在单调递增若解不等式,则有(不变号加绝对值);
关于对称,且在单调递减若解不等式,则有(不变号加绝对值);
二、抽象函数的模型
【反比例函数模型】
反比例函数:,则,
【一次函数模型】
模型1:若,则;
模型2:若,则为奇函数;
模型3:若则;
模型4:若则;
【指数函数模型】
模型1:若,则;
模型2:若,则;
模型3:若,则;
模型4:若,则;
【对数函数模型】
模型1:若,则
模型2:若,则
模型3:若,则
模型4:若,则
模型5:若,则
【幂函数模型】
模型1:若,则
模型2:若,则
代入则可化简为幂函数;
【余弦函数模型】
模型1:若,则
模型2:若,则
【正切函数模型】
模型:若,则
模型3:若,则
①抽象函数求值
解题技法
抽象函数求值问题常用赋值法,赋值主要从以下方面考虑:令x=?,?2,?1
一、单选题
1.(2024·河北沧州·模拟预测)已知函数的定义域为R,,,均满足.若,则(????)
A.0 B. C. D.
2.(2024·陕西铜川·模拟预测)设函数的定义域为,且,则(????)
A. B.0 C.4 D.
二、填空题
3.(2025高三·全国·专题练习)定义在上的函数满足,,则,.
4.(2025高三·全国·专题练习)已知函数的定义域为,且,,则
5.(2025高三·全国·专题练习)已知定义域为的函数,满足,且,,则.
6.(2024·江苏·模拟预测)已知定义在上的满足,且对于任意的,有,则.
②抽象函数的单调性与抽象不等式
解题技法
(1)抽象函数的单调性的证明,关键是要依据单调性的定义和题目条件利用x1与x
(2)在解决与抽象函数有关的不等式问题时,可通过脱去函数符号“f”化为一般不等式求解,但无论如何都必须在同一单调区间内进行;若不等式一边没有“f”,而是常数,则应将常数转化为函数值.
一、单选题
1.(23-24高三下·广东佛山·开学考试)已知函数在定义域上是增函数,且,则实数a的取值范围是(????)
A. B. C. D.
2.(2024·江西·模拟预测)已知奇函数在上单调递增,且,则不等式的解集为(????)
A. B. C. D.
3.(23-24高三下·吉林通化·期中)已知函数是定义在上的奇函数,且单调递增,则的解集为(????)
A. B. C. D.
二、多选题
4.(2024·广东茂名·二模)已知函数为上的奇函数,且在R上单调递增.若,则实数的取值可以是(????)
A. B.0 C.1 D.2
三、填空题
5.(2024高三·全国·专题练习)已知函数,若,则实数的取值范围是.
6.(23-24高三下·上海·阶段练习)已知偶函数在区间上是严格减函数.若,则的取值范围是.
③抽象函数的奇偶性
解题技法
抽象函数中求特殊的函数值,讨论函数的奇偶性及依此解关于x的不等式等问题多运用“赋值法”进行求值和化简.
一、单选题
1.(2024·河南·模拟预测)已知函数的定义域为R,对于任意实数x,y满足,且,则下列结论错误的是(????)
A. B.为偶函数
C.为奇函数 D.
2.(2024·河南郑州·模拟预测)已知为奇函数,则(????)
A. B.14 C. D.7
3.(23-24高三下·陕西西安·阶段练习)定义域均为R的函数,满足,且,则(????)
A.是奇函数 B.是偶函数
C.是奇函数 D.是偶函数
4.(2025高三·全国·专题练习)函数的定义域为,且与都为奇函数,则说法不正确的是(????)
A.为奇函数 B.为周期函数
C.为奇函数 D.为偶函数
二、多选题
5.(2024·河南·三模)定义在上的函数满足,则(????)
A. B.
C.为奇函数 D.单调递增
6.(2024高三·全国·专题练
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