2025高考数学一轮复习-1.4-基本不等式及其应用-专项训练【含答案】.docxVIP

2025高考数学一轮复习-1.4-基本不等式及其应用-专项训练

一、单项选择题

1．已知4a2＋b2＝6，则ab的最大值为()

A．34 B．3

C．52

2．已知0x2，则y＝2x4?x

A．2 B．4

C．5 D．6

3．若正数x，y满足x＋6y＝3，则3yx

A．4 B．98

C．23 D．2

4．下列函数中，函数的最小值为2的是()

A．y＝x＋2

B．y＝x

C．y＝ex＋e－x

D．y＝log3x＋logx3(0x1)

5．)现设计一个两邻边长度分别为a，b的矩形广告牌，其面积为S，且S＝a－b＋5，则当该广告牌的周长l最小时，S＝()

A．3 B．4

C．5 D．6

6．原油作为“工业血液”“黑色黄金”，其价格的波动牵动着整个化工产业甚至世界经济．小李在某段时间内共加油两次，这段时间燃油价格有升有降，现小李有两种加油方案：第一种方案是每次加油40升，第二种方案是每次加油200元，则下列说法正确的是()

A．第一种方案更划算

B．第二种方案更划算

C．两种方案一样

D．无法确定

二、多项选择题

7．下列说法正确的有()

A．若x12，则2x＋1

B．若x－2，则x+6x+2

C．若x0，y0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最大值是2

D．若x1，则x2

8．(2024·河南信阳模拟)已知正实数x，y满足2x＋y＝3，则()

A．xy≤98 B．4x＋2y≥

C．x2＋y24≤9

三、填空题

9．已知a＞0，b0，且ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围为________；a＋b的取值范围是________．

10．已知正实数x，y满足x＋y＝1，则x2＋y2的最小值为________；若1x+4y

四、解答题

11．某公益广告公司拟在一张矩形海报纸(记为矩形ABCD，如图)上设计三个等高的宣传栏(栏面分别为一个等腰三角形和两个全等的直角梯形)，宣传栏(图中阴影部分)的面积之和为1440cm2．为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为2cm.当直角梯形的高为多少时，用纸量最少(即矩形ABCD的面积最小)?

12．甲、乙两地相距1000km，货车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过80km/h，已知货车每小时的运输成本(单位：元)由可变成本和固定成本组成，可变成本是v24(速度v的单位为km/h)元，固定成本为

(1)将全程运输成本y(单位：元)表示为速度v(单位：km/h)的函数，并指出这个函数的定义域；

(2)为了使全程运输成本最小，货车应以多大的速度行驶？

13．某校决定在学校门口利用一侧原有墙体，建造一间墙高为3m，底面为24m2，且背面靠墙的长方体形状的校园警务室．由于此警务室的背面靠墙，无需建造费用，甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左、右两面新建墙体报价为每平方米300元，屋顶和地面以及其他报价共计14400元．设屋子的左、右两面墙的长度均为xm(3≤x≤6)．

(1)当左、右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？并求出最低报价；

(2)现有乙工程队也要参与此警务室的建造竞标，其给出的整体报价为1800a1+xx元(a0)，若无论左、右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求

参考答案

1．B[由题意得，6＝4a2＋b2＝(2a)2＋b2≥2·2a·b，即ab≤32

当且仅当2a＝b，即a＝32，b＝3或a＝－32，b＝－

所以ab的最大值为32

2．B[因为0x2，所以y＝2x4?x2＝2x24?

当且仅当x2＝4－x2时取等号，因为0x2，解得x＝2.故选B.]

3．A[∵x，y为正数，x＋6y＝3，

∴3yx+1y＝3yx+x+6y3y＝

4．C[当x＜0时，选项A不符合；当0＜x＜1时，log3x＜0，logx3＜0，选项D不符合；因为y＝x2+3x2+2＝1x2+2+x2+2＞2，故选项B不符合．因为ex＞0，e－x＞0，所以y

5．A[由题意知a0，b0，且ab＝a－b＋5，所以b＝a+5a+1，则该广告牌的周长l＝2(a＋b)＝2a+a+5a+1＝2a+1+4a+

故选A.]

6．B[设小李这两次加油的油价分别为x元/升、y元/升(x≠y)，则

方案一：两次加油平均价格为40x+40y80＝x

方案二：两次加油平均价格为400200x+200y＝2xy

7．ABD[对于A，因为x12，所以2x－10，1－2x0，所以2x＋12x?1＝(2x－1)＋12x?1＋1＝－1?2x+11?2x＋1≤－21?2x·

对于B，因为x－2，所以x＋20，所以x+6x+2＝x+2+4x+2

对于C，因为x0，y0，所以x·2y≤x+2y22，即2