实战演练03 导数中最常考的切线问题（5大常考点归纳）--备战2025年高考数学真题题源解密（新高考卷）解析版.docx

实战演练03导数中最常考的切线问题

①求在曲线上一点的切线方程

②求过某一点的切线方程

③有一个切点的公切线

④有两个切点的公切线

⑤公切线的条数问题

一、在点的切线方程

切线方程的计算：函数在点处的切线方程为，抓住关键．

二、过点的切线方程

设切点为，则斜率，过切点的切线方程为：，

又因为切线方程过点，所以然后解出的值．（有几个值，就有几条切线）

三、公切线问题一般思路

两个曲线的公切线问题，主要考查利用导数的几何意义进行解决，关键是抓住切线的斜率进行转化和过渡.主要应用在求公切线方程，切线有关的参数，以及与函数的其他性质联系到一起.处理与切线有关的参数，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：

①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上.

考法1：求公切线方程

已知其中一曲线上的切点，利用导数几何意义求切线斜率，进而求出另一曲线上的切点；不知切点坐标，则应假设两切点坐标，通过建立切点坐标间的关系式，解方程.

具体做法为：设公切线在y＝f(x)上的切点P1(x1，f(x1))，在y＝g(x)上的切点P2(x2，g(x2))，

则f′(x1)＝g′(x2)＝.

考法2：由公切线求参数的值或范围问题

由公切线求参数的值或范围问题，其关键是列出函数的导数等于切线斜率的方程．

①求在曲线上一点的切线方程

一、填空题

1．（2024·山西·模拟预测）函数的图象在点处的切线方程为.

【答案】

【分析】借助导数的几何意义及直线的点斜式计算即可得.

【详解】因为，所以，

又，所以函数的图象在点处的切线方程为：

，整理得.

故答案为：.

2．（2024·河北承德·二模）函数在处的切线的斜率为.

【答案】/

【分析】利用导数的几何意义，求切点处切线的斜率.

【详解】函数，有，则.

所以函数在处的切线的斜率为.

故答案为：.

3．（23-24高三下·西藏拉萨·阶段练习）已知函数，若曲线在点处的切线与直线平行，则实数．

【答案】2

【分析】首先求出曲线在点处的切线斜率，结合该切线与平行即可求解．

【详解】因为，所以，所以，

故答案为：2．

4．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知曲线在点处的切线的倾斜角为,则的值为.

【答案】/

【分析】对原函数进行求导,代入得出切线斜率.曲线在处的切线倾斜角为可得出斜率.构造关于的方程，解方程即可.

【详解】曲线的导数,

∵曲线在处的切线的倾斜角为,

∴,

∴,

∴

故答案为:.

5．（23-24高三上·安徽亳州·期末）已知直线的斜率为2，且与曲线相切，则的方程为.

【答案】

【分析】由题意令，解方程可得切点横坐标，进一步得到切点坐标即可得解.

【详解】设，令，得，则切点为，

故所求的方程为.

故答案为：.

6．（23-24高三上·西藏林芝·期末）若函数的图象在处的切线斜率为1，则．

【答案】

【分析】利用复合函数的导数计算法则，由导数的几何意义计算即可求得.

【详解】由可得，

根据导数的几何意义可得，

解得.

故答案为：

7．（2024·河北·模拟预测）已知函数在处的切线方程为，则.

【答案】1

【分析】根据切点在曲线与切线上，代入求解即可.

【详解】，故函数在处的切点为，又切点在切线上，故，故.

故答案为：1

8．（2024·全国·模拟预测）已知函数，若曲线的所有切线中斜率最小的切线方程为，则．

【答案】8

【分析】求导结合基本不等式得到的最小值，再根据题意得关于的方程，解方程得到的值，得到切点的坐标，将切点坐标代入直线方程得到的值，即可得解.

【详解】由，得，

因为，则，当且仅当时等号成立，

由直线的斜率为，

所以曲线的所有切线中斜率最小的切线的斜率，

所以，此时，

由，则，所以切点为.

将代入，

得，所以．

故答案为：.

②求过某一点的切线方程

一、填空题

1．（2024高三·全国·专题练习）过点作曲线的切线，则切线方程为.

【答案】

【分析】设出切点坐标，利用导数的几何意义求出切线方程，将点代入切线求得参数，即可求解.

【详解】设切点为，由得，

则切点处的切线，

因为切线过点，所以，解得，

所以切线方程为即.

故答案为：

2．（23-24高三上·山东青岛·期中）曲线过原点的切线方程为.

【答案】

【分析】设切点，求导，即可根据点斜式求解切线方程，进而根据直线过原点即可求解切点坐标，进而可求解.

【详解】由得

设切点为，则切线方程为

由于切线经过原点，所以，解得，

所以切线方程为，即，

故答案为：

3．（2024·四川自贡·一模）若曲线的一条切线为，则.

【答案】

【分析】由是曲线的切线，求导