实战演练04 高中常见的恒（能）成立问题（4大常考点归纳）--备战2025年高考数学真题题源解密（新高考卷）解析版.docx

实战演练04高中常见的恒（能）成立问题

①一元二次不等式中的恒（能）成立问题

②基本不等式中的恒（能）成立问题

③函数中的恒（能）成立问题

④利用导数研究不等式中的恒（能）成立问题

一、恒成立和有解问题思路一览

设函数的值域为或，或或中之一种，则

①若恒成立（即无解），则；

②若恒成立（即无解），则；

③若有解（即存在使得成立），则；

④若有解（即存在使得成立），则；

⑤若有解（即无解），则；

⑥若无解（即有解），则．

【说明】（1）一般来说，优先考虑分离参数法，其次考虑含参转化法．

（2）取值范围都与最值或值域(上限、下限)有关，另外要注意①②③④中前后等号的取舍！（即端点值的取舍）

二、分离参数的方法

①常规法分离参数：如；

②倒数法分离参数：如；

【当的值有可能取到，而的值一定不为0时，可用倒数法分离参数．】

③讨论法分离参数：如:

④整体法分离参数：如；

⑤不完全分离参数法：如；

⑥作商法凸显参数，换元法凸显参数．

【注意】

（1）分离参数后，问题容易解决，就用分离参数法（大多数题可以使用此方法）．但如果难以分离参数或分离参数后，问题反而变得更复杂，则不分离参数，此时就用含参转化法．

（2）恒成立命题对自变量的范围有时有一部分或端点是必然成立的，应该考虑先去掉这一部分或端点，再分离参数求解．【否则往往分离不了参数或以至于答案出问题．】

三、其他恒成立类型一

①在上是增函数，则恒成立．(等号不能漏掉)．

②在上是减函数，则恒成立．(等号不能漏掉)．

③在上是单调函数，则分上述两种情形讨论；(常用方法)

四、其他恒成立类型二

①，使得方程成立．

②，使得方程成．

五、其他恒成立类型三

①，；

②，；

③，；

④，．

①一元二次不等式中的恒（能）成立问题

一、单选题

1．（2024高三·全国·专题练习）对于任意实数x，不等式恒成立，则实数a取值范围（）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】分类讨论，利用判别式小于0，即可得到结论

【详解】当，即时，，恒成立；

当时，，解之得，

综上可得

故选：

2．（23-24高三上·青海西宁·阶段练习）若关于的不等式对任意均成立，则实数的取值范围为（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】当时显然恒成立，当时参变分离可得恒成立，令，，根据单调性求出，即可求出参数的取值范围.

【详解】因为关于的不等式对任意均成立，

当时，恒成立，

当时，恒成立，

令，，

因为与在上单调递增，

则在上单调递增，所以当时取得最大值，

即，

所以，则，

综上可得实数的取值范围为.

故选：D

3．（23-24高三上·湖北·阶段练习）已知命题：，若为假命题，则的取值范围为（???）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用命题的关系、分离参数法、二次函数的图象与性质分析运算即可得解.

【详解】若命题为真命题，即：，

设，则由二次函数图象与性质知，

当时，最小值为，所以.

因为命题为假命题，所以，

即的取值范围为.

故选：A.

二、填空题

4．（23-24高二下·辽宁沈阳·期末）若命题“，”为假命题，则的取值范围是.

【答案】

【分析】由题意知，命题的否定为真命题，再结合一元二次不等式恒成立求得的取值范围.

【详解】因为命题“，”为假命题，

所以命题“，”真命题，

所以，

解得，

所以的取值范围是.

故答案为：.

5．（2024高三·全国·专题练习）若存在，使不等式成立，则a的取值范围为.

【答案】

【分析】利用分离参变量思想，再用换元法转化到对钩函数求最小值，即可得到取值范围.

【详解】由，

因为，所以，令，

由，

构造函数，

即，当且仅当时取等号，

所以

故答案为：.

6．（2024高三下·全国·专题练习）已知，若对一切实数x恒成立，则实数a的取值范围为．

【答案】

【分析】思路一：移向转换为对一切实数x恒成立，对分类讨论即可求解；思路二：移向构造函数，对分类讨论，转换为函数最小值大于0求参数即可；思路三：分离参数，构造函数，利用导数求最值即可求解.

【详解】解法一（运用判别式）：由已知可得，

即对一切实数x恒成立．

当时，不可能恒成立，

从而由二次函数的性质可得，只能，解得．

因此实数a的取值范围为．

解法二（利用二次函数图像与性质）：原不等式整理得，

令，则原问题转化为对恒成立．

当时，抛物线开口向下，显然不合题意；

当时，，其图像是一条直线，也不合题意；

当时，抛物线开口向上，只要，即．

解得或，∴，因此实数a的取值范围为．

解法三（参变分离，构造新函数，运用导数求解函数的单调性及最值）：

∵恒成立．

∴问题转化为对恒成立，从而．

令，则，

令，则或．

从而在，上单调递增，在上单调递减．

又，且当时，，故．

于