实战演练05 导数中构造函数的妙用（4大常考点归纳）--备战2025年高考数学真题题源解密（新高考卷）解析版.docx

实战演练05导数中构造函数的妙用

①构造函数比较大小

②构造函数解不等式

③构造函数求最值（范围）

④构造函数证明不等式

一、同构构造函数或者利用作差或作商法构造函数

1.同构是构造函数的一种常用方法.常利用x=ln?

2.对于同时含有指数、对数结构的两个变量的等式,或者含两个变量,且结构相似的等式,比较相关的两个变量间的大小问题时,思考的逻辑路径为先分离变量,再将等式通过合理变形,放缩成结构相同的不等式,然后利用同构函数思想,转化为比较某个函数的两个函数值f(g(x))与f(h(x))的大小,最后利用函数f(x)的单调性,转化为比较自变量g(x)与h(x)的大小,实现将超越函数普通化的目的,达到事半功倍的效果。

3.常见的构造函数有

（1）与和相关的常见同构模型

①，构造函数或；

②，构造函数或；

③，构造函数或.

二、构造函数解不等式解题思路

利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性划归为显性的不等式来求解，方法是：

（1）把不等式转化为；

（2）判断函数的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“”脱掉，得到具体的不等式（组），但要注意函数奇偶性的区别.

三、构造函数解不等式解题技巧

求解此类题目的关键是构造新函数，研究新函数的单调性及其导函数的结构形式，下面是常见函数的变形

模型1.对于，构造

模型2.对于不等式，构造函数.

模型3.对于不等式，构造函数

拓展：对于不等式，构造函数

模型4.对于不等式，构造函数

模型5.对于不等式，构造函数

拓展：对于不等式，构造函数

模型6.对于不等式，构造函数

拓展：对于不等式，构造函数

模型7.对于，分类讨论：（1）若，则构造

（2）若，则构造

模型8.对于，构造.

模型9.对于，构造.

模型10.（1）对于，即，

构造．

对于，构造．

模型11.（1）（2）

①构造函数比较大小

一、单选题

1．（23-24高二下·广东佛山·阶段练习）若则（????）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】结合的特征，构造函数，利用其单调性即可比较大小.

【详解】构造函数，，则，

令解得；令，解得；

可得在上单调递增，在上单调递减，

，，且，

，即，就是.

故选：C．

2．（2024·四川·模拟预测）已知，则的大小关系为（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用当时，判断，通过函数在是减函数判断.

【详解】当时，设，则，

当时，，单调递增，当时，，单调递减，

所以，

也就是说当时，，

用代替，可得，即，

所以，即．

又知，所以，所以．

故选：A

3．（23-24高三上·云南昆明·阶段练习）设，，，设a，b，c的大小关系为（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】构造函数，由导数判断单调性后比较．

【详解】解：构造函数，则，

当时，，函数在上为减函数，

而，，，又，

所以，即，

故选：A

4．（2024高三·全国·专题练习）已知，，，则a，b，c的大小关系是（????）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】构造函数，利用导数说明它在内单调递增即可得解.

【详解】构造函数，，

当时，，单调递增，

所以，.

故选：A.

5．（2024·陕西安康·模拟预测）已知，则（????）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】构造函数，和，利用导数求解函数的单调性，即可求解.

【详解】令，，则，

令，则即单调递增，所以，故为增函数，所以，可得，故.

令，则，故为增函数，所以0，即.所以，故，所以b

故选：B.

【点睛】方法点睛：利用导数比较大小的基本步骤

(1)作差或变形；

(2)构造新的函数；

(3)利用导数研究的单调性或最值；

(4)根据单调性及最值，得到所证不等式．

6．（23-24高三上·江苏南京·阶段练习）已知，，，则，，的大小关系为（????）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】通过指数函数、幂函数的单调性得，，再构造函数，通过导数判断单调性即可得.

【详解】由题意，令，则在上单调递增，

所以，

令，则在上单调递增，

所以，

因为，

令，则，

令，则，单调递增；

令，则，单调递减；

所以，则，

故，

综上所述，即.

故选：C.

7．（2024·安徽芜湖·三模）设，则（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先构造函数，利用导数证明，则，再构造函数，利用导数求出其单调区间，即可比较，构造函数，利用导数求出其单调区间，即可比较，即可得解.

【详解】令，则，

令，则，

所以函数在上单调递增，

所以，即，

所以，

而，

令，

则，

当时，，

所以函数在上单调递减，

所以，

即，所以，

,

令，

则，

令，则，

当时，，

所以函数在上单调递减，

所以，

即当时，，

所以函数在上单调递增，

所以，

即，所以