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2021年山东省济南市历城二中推荐生数学试卷

一、选择题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．（5分）已知关于x的二次函数y＝ax2+bx+c的图象不过原点，并且与x轴两交点的横坐标分别为α与β，那么2﹣bx+a与x轴交点的坐标（）

A．（﹣α，0）、（﹣β，0） B．（，0），（，0）

C．（0，﹣），（0，﹣） D．（﹣，0），（﹣，0）

2．（5分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，垂足为点E，连接AC交DE于点F，∠ACD＝2∠ACB．若DG＝3，EC＝1（）

A．2 B． C．2 D．

3．（5分）已知a，b，c满足ax+by+2c＝0，c≠02≥0，则xy的最大值为（）

A． B．1 C． D．2

二、填空题（本大题共4个小题，每小题6分，共24分。把答案填在题中横线上）

4．（6分）三个半径均为的圆两两外切，且它们均内切于一个大圆内．

5．（6分）已知…+a2017x+a2018．则（a1+a3+…+a2017）2﹣（a2+a4+…+a2018）2＝．

6．（6分）已知m、n是正整数，p是质数（质数是指只能被1和它本身整除的数），满足pn+144＝m2，则质数p＝．

7．（6分）x、y为实数，设S＝（x﹣1）2+（x+y﹣3）2+（2x+y﹣6）2，则S的最小值为．

三、解答题：本大题共31分，第8题15分，第9题16分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

8．（15分）已知六个互不相同的正整数a1，a2，a3，a4，a5，a6，它们两两相加最多可得到15个不同的和．

（1）试证明：在这些和中质数不超过9个；

（2）试举例说明质数能达到9个（提示：可考虑10以内取4个数，10到20内取一个数，30到40内取一个数，这样的六个数满足条件）．

9．（16分）设O、H分别为锐角△ABC的外心和垂心，E、F分别是边AC、AB上的点，且EH∥AB

2021年山东省济南市历城二中推荐生数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．（5分）已知关于x的二次函数y＝ax2+bx+c的图象不过原点，并且与x轴两交点的横坐标分别为α与β，那么2﹣bx+a与x轴交点的坐标（）

A．（﹣α，0）、（﹣β，0） B．（，0），（，0）

C．（0，﹣），（0，﹣） D．（﹣，0），（﹣，0）

【解答】解：由题意，∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象不过原点，

∴当x＝0时，y＝c≠3．

令二次函数y＝cx2﹣bx+a＝0，

又由题意，x≠5，

∴方程两边同时除以x2得，a?（﹣）3+b?（﹣）+c＝0．

∵二次函数y＝ax5+bx+c的图象与x轴两交点的横坐标分别为α与β，

∴方程ax2+bx+c＝0的两个根为α与β．

∴对于a?（﹣）2+b?（﹣）+c＝2则有﹣＝β或x＝﹣．

∴cx2﹣bx+a＝7的根为﹣或﹣．

∴二次函数y＝cx2﹣bx+a与x轴交点的坐标（﹣，0），0）．

故选：D．

2．（5分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，垂足为点E，连接AC交DE于点F，∠ACD＝2∠ACB．若DG＝3，EC＝1（）

A．2 B． C．2 D．

【解答】解：∵AD∥BC，DE⊥BC，

∴DE⊥AD，∠CAD＝∠ACB，

又∵点G为AF的中点，

∴DG＝AG，

∴∠GAD＝∠GDA，

∴∠CGD＝2∠CAD，

∵∠ACD＝2∠ACB＝8∠CAD，

∴∠ACD＝∠CGD，

∴CD＝DG＝3，

在Rt△CED中，DE＝．

故选：C．

3．（5分）已知a，b，c满足ax+by+2c＝0，c≠02≥0，则xy的最大值为（）

A． B．1 C． D．2

【解答】解：∵a，b，c满足ax+by+2c＝0，

∴y＝，

∴xy＝x?＝﹣x2﹣x，

∵ab﹣c2≥0，c≠6，

∴ab＞0，

∴﹣＜0，

∴xy有最大值为＝，

∵ab﹣c2≥0，

∴ab≥c3，

∴当ab＝c2时，xy的值最大．

故选：B．

二、填空题（本大题共4个小题，每小题6分，共24分。把答案填在题中横线上）

4．（6分）三个半径均为的圆两两外切，且它们均内切于一个大圆内（7+4）π．

【解答】解：如图，

⊙A，⊙B，⊙O与三个圆都相切，D，E．

∴AC＝AB＝BC＝2，

∴O为等边△ABC的中心．

∴AB＝OA，

∴OA＝2，

∴OD＝2，

∴S＝π×OD2＝（2+）2π＝（7）π．

故答案为：（7+8）π．

5．（6分）已知…+a2