实战演练01 抽象函数的性质--备战2025年高考数学真题题源解密（新高考卷）解析版.docx

实战演练01抽象函数的性质

①抽象函数求值

②抽象函数的单调性与抽象不等式

③抽象函数的奇偶性

④抽象函数的对称性

⑤抽象函数的周期性

⑥抽象函数结合导数的应用

⑦抽象函数性质的综合应用

一、抽象函数的性质

1.周期性：；；

；（为常数）；

2.对称性：

对称轴：或者关于对称；

对称中心：或者关于对称；

3.如果同时关于对称，又关于对称，则的周期

4.单调性与对称性（或奇偶性）结合解不等式问题

①在上是奇函数，且单调递增若解不等式，则有

；

在上是奇函数，且单调递减若解不等式，则有

；

②在上是偶函数，且在单调递增若解不等式，则有（不变号加绝对值）；

在上是偶函数，且在单调递减若解不等式，则有（变号加绝对值）；

③关于对称，且单调递增若解不等式，则有

；

关于对称，且单调递减若解不等式，则有

；

④关于对称，且在单调递增若解不等式，则有（不变号加绝对值）；

关于对称，且在单调递减若解不等式，则有（不变号加绝对值）；

二、抽象函数的模型

【反比例函数模型】

反比例函数：，则，

【一次函数模型】

模型1：若，则；

模型2：若，则为奇函数；

模型3：若则；

模型4：若则；

【指数函数模型】

模型1：若，则；

模型2：若，则；

模型3：若，则；

模型4：若，则；

【对数函数模型】

模型1：若，则

模型2：若，则

模型3：若，则

模型4：若，则

模型5：若，则

【幂函数模型】

模型1：若，则

模型2：若，则

代入则可化简为幂函数；

【余弦函数模型】

模型1：若，则

模型2：若，则

【正切函数模型】

模型：若，则

模型3：若，则

①抽象函数求值

解题技法

抽象函数求值问题常用赋值法，赋值主要从以下方面考虑：令x=?,?2,?1

一、单选题

1．（2024·河北沧州·模拟预测）已知函数的定义域为R，，，均满足．若，则（????）

A．0 B． C． D．

【答案】D

【分析】先赋值求出，接着赋值，求出，再赋值求出，最后赋值，即可求解.

【详解】令，得，所以；

令，，得，

又，所以；令，得；

令，，得.

故选：D.

2．（2024·陕西铜川·模拟预测）设函数的定义域为，且，则（????）

A． B．0 C．4 D．

【答案】B

【分析】令结合得，令得，令，，得，令，分别令可以得到，令，得的周期为，所以.

【详解】因为，令，有，则或．

若，则令，有，得，与已知矛盾，所以．

令，有，则，得．

令，，有，得．

令，，有，得．

令，，有，得．

令，，有，得．

令，，有，得．

令，有，得，

令，有，即，

所以，故，所以的周期为，

所以．

故选：B．

【点睛】方法点睛：赋值法解决抽象函数问题，通过对赋值，得到相应的函数值，进而研究函数性质或者得到待求函数值.

二、填空题

3．（2025高三·全国·专题练习）定义在上的函数满足，，则，.

【答案】126

【分析】利用赋值法可求的值，再求出，从而可求的值.

【详解】，

而即，

故，故，

故答案为：

4．（2025高三·全国·专题练习）已知函数的定义域为，且，，则

【答案】2

【分析】令，或，再说明不合题意.

【详解】令，得得或，

当时，令得不合题意，故.

故答案为：2

5．（2025高三·全国·专题练习）已知定义域为的函数，满足，且，，则.

【答案】0

【分析】在已知式中令可得．

【详解】由，

令，则

故答案为：0.

6．（2024·江苏·模拟预测）已知定义在上的满足，且对于任意的，有，则.

【答案】

【分析】令得或，排除即可.

【详解】在中，令，有，解得或，

若，则在中，令，有恒成立，但这与矛盾，

所以只能，经检验符合题意.

故答案为：.

②抽象函数的单调性与抽象不等式

解题技法

（1）抽象函数的单调性的证明，关键是要依据单调性的定义和题目条件利用x1与x

（2）在解决与抽象函数有关的不等式问题时，可通过脱去函数符号“f”化为一般不等式求解，但无论如何都必须在同一单调区间内进行；若不等式一边没有“f”，而是常数，则应将常数转化为函数值.

一、单选题

1．（23-24高三下·广东佛山·开学考试）已知函数在定义域上是增函数，且，则实数a的取值范围是（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由函数的单调性及定义域得到关于的不等式组，解之即可得解.

【详解】因为函数在定义域上是增函数，且，

则有，则，解得，

所以实数的取值范围是.

故选：C.

2．（2024·江西·模拟预测）已知奇函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用函数的奇偶性及单调性计算即可.

【详解】由，可