实战演练02 三次函数的图像与性质（4大常考点归纳）--备战2025年高考数学真题题源解密（新高考卷）解析版.docx

实战演练02三次函数的图像与性质

①三次函数的零点

②三次函数的极值、极值点

③三次函数的切线

④三次函数的对称性

一、三次函数概念

定义：形如fx

fx=

当Δ0时，令f

二、三次函数的图像及单调性

注：三次函数要么无极值点，要么有两个，不可能只有一个！

系数关系式

fx

f

fx

a

f

fx在R

fx

a

f

fx在R

fx

a

增区间?∞，

减区间x

fx

极大值fx1

a

增区间x

减区间?∞，

fx

极大值fx2

三、三次函数的零点个数

若三次函数fx

性质

三次函数图像

说明

a

a

零点个数

三个

b

f

两个极值异与

图像与x轴有三个交点

两个

b

f

有一个极值为0

图像与x轴有两个交点

存在极值时

一个

b

f

不存在极值时，

函数单调，与x轴有一个交点

四、三次函数的韦达定理

设fx=a

(1)x

(2)x

(3)x

(4)1

五、三次函数的对称性

结论1三次函数fx=ax3

结论2已知三次函数fx=ax3+

结论3若y=fx图像关于点m，n

点对称函数的导数是轴对称函数，轴对称函数的导数是点对称函数

奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数

①三次函数的零点

一、单选题

1．（2024·陕西西安·模拟预测）若函数在区间内有两个零点，则实数的取值范围是（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用导数说明函数的单调性，依题意可得，解得即可.

【详解】因为，所以当或时，

即在，上单调递增，

当时，即在上单调递减，

根据题意可得，即，解得.

故选：A

2．（2024·湖南长沙·一模）函数有3个零点的充分不必要条件是（????）

A．，且 B．，且

C．，且 D．，且

【答案】D

【分析】由题意可得函数有3个零点的充要条件为且，逐个选项分析其是否为且的充分不必要条件即可得.

【详解】，有，

若有三个零点，则有且，

故函数有3个零点的充要条件为：

且，

对A：，且，则当时，有，不符，故A错误；

对B：可能，不符，故B错误；

对C：且，则，不符，故C错误；

对D：，且，则，

即由，且能得到且，

但且并不意味着，且，

故，且是且的充分不必要条件，

即是函数有3个零点的充分不必要条件，故D正确.

故选：D.

3．（2024·宁夏银川·三模）已知函数有3个零点，，，有以下四种说法：

①

②

③存在实数a，使得，，成等差数列

④存在实数a，使得，，成等比数列

则其中正确的说法有（????）种.

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【分析】由题意设，根据，求导分析的单调性，进而数形结合分析，根据可判断①，根据函数的极大值可判断②，根据三次函数的对称性可判断③，举例可判断④.

【详解】由，得，

设，则，

则的极小值为，极大值为．

对①，因为，

所以，当且仅当时，，所以，①正确．

对②，因为在上单调递减，且，

所以，所以未必成立，②错误．

对③，设，令有，则有，故图象存在对称中心，

所以存在实数，使得，，成等差数列，③正确．

对④，因为，所以存在实数，使得，，成等比数列，④正确．

故选：C.

4．（23-24高三上·云南·阶段练习）关于函数，则下列说法正确的是（???）

A．函数在上单调递减

B．当时，函数在上恒成立

C．当或时，函数有2个零点

D．当时，函数有3个零点，记为，则

【答案】D

【分析】利用导数求出函数单调性可得A错误；画出函数的图象可求得BC错误，根据零点个数可求得，令再利用三角函数值域以及倍角公式即可求得D正确.

【详解】对于A，因为函数，令，则；

当或时，，此时函数单调递增，

当时，；此时函数单调递减，

作出函数的大致图象如图，故A错；

对于B，由A选项可知，易知，

又易知时，函数单调递减，时，函数单调递增；

当时，若，不一定成立，例如当时，，

所以当，不一定成立，故B错；

对于C，方程的根即为与函数的交点横坐标，

由A可知，函数在时取得极大值1，在时取得极小值；

作出函数的图象如图，

当或时，函数有1个零点，故C错；

对于D，函数有3个零点，则可得，且；

记，

令，则，所以，

于是

，

故选：D．

【点睛】关键点点睛：本题关键在于将函数有3个零点的范围限定在上，再利用倍角公式即可得出结论.

二、多选题

5．（23-24高三上·安徽·阶段练习）已知三次函数，下列结论正确的是（????）

A．当时，单调递减区间为

B．当时，单调递增区间为

C．当时，若函数恰有两个不同的零点，则

D．当时，恒成立，则a的取值范围为

【答案】ACD

【分析】利用导数研究区间单调性判断A、B，由函数恰有两个不同的零点，则有一个极值为0，易得或判断C；将不等式恒成立化为恒成立，对右侧构造函数，应用导数求其最大值即可判断D.

【详解】，则，

当时，在区间上，

所以在上单调