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实战演练04高中常见的恒(能)成立问题
①一元二次不等式中的恒(能)成立问题
②基本不等式中的恒(能)成立问题
③函数中的恒(能)成立问题
④利用导数研究不等式中的恒(能)成立问题
一、恒成立和有解问题思路一览
设函数的值域为或,或或中之一种,则
①若恒成立(即无解),则;
②若恒成立(即无解),则;
③若有解(即存在使得成立),则;
④若有解(即存在使得成立),则;
⑤若有解(即无解),则;
⑥若无解(即有解),则.
【说明】(1)一般来说,优先考虑分离参数法,其次考虑含参转化法.
(2)取值范围都与最值或值域(上限、下限)有关,另外要注意①②③④中前后等号的取舍!(即端点值的取舍)
二、分离参数的方法
①常规法分离参数:如;
②倒数法分离参数:如;
【当的值有可能取到,而的值一定不为0时,可用倒数法分离参数.】
③讨论法分离参数:如:
④整体法分离参数:如;
⑤不完全分离参数法:如;
⑥作商法凸显参数,换元法凸显参数.
【注意】
(1)分离参数后,问题容易解决,就用分离参数法(大多数题可以使用此方法).但如果难以分离参数或分离参数后,问题反而变得更复杂,则不分离参数,此时就用含参转化法.
(2)恒成立命题对自变量的范围有时有一部分或端点是必然成立的,应该考虑先去掉这一部分或端点,再分离参数求解.【否则往往分离不了参数或以至于答案出问题.】
三、其他恒成立类型一
①在上是增函数,则恒成立.(等号不能漏掉).
②在上是减函数,则恒成立.(等号不能漏掉).
③在上是单调函数,则分上述两种情形讨论;(常用方法)
四、其他恒成立类型二
①,使得方程成立.
②,使得方程成.
五、其他恒成立类型三
①,;
②,;
③,;
④,.
①一元二次不等式中的恒(能)成立问题
一、单选题
1.(2024高三·全国·专题练习)对于任意实数x,不等式恒成立,则实数a取值范围()
A. B. C. D.
2.(23-24高三上·青海西宁·阶段练习)若关于的不等式对任意均成立,则实数的取值范围为(????)
A. B. C. D.
3.(23-24高三上·湖北·阶段练习)已知命题:,若为假命题,则的取值范围为(???)
A. B. C. D.
二、填空题
4.(23-24高二下·辽宁沈阳·期末)若命题“,”为假命题,则的取值范围是.
5.(2024高三·全国·专题练习)若存在,使不等式成立,则a的取值范围为.
6.(2024高三下·全国·专题练习)已知,若对一切实数x恒成立,则实数a的取值范围为.
②基本不等式中的恒(能)成立问题
一、单选题
1.(23-24高三上·江苏·阶段练习)若两个正实数满足且不等式恒成立,则实数的取值范围是(????)
A. B.
C. D.
2.(22-23高三上·江西宜春·阶段练习)设,且恒成立,则n的最大值为(????)
A.2 B.3 C.4 D.5
3.(23-24高三上·浙江宁波·期末)设实数x,y满足,,不等式恒成立,则实数k的最大值为(????)
A.12 B.24 C. D.
二、填空题
4.(23-24高三上·安徽·期中)若,,则实数的取值范围是.
5.(2024·江西·一模)已知正数x,y满足,若不等式恒成立,则实数a的取值范围是.
③函数中的恒(能)成立问题
一、单选题
1.(2024·全国·模拟预测)已知,且在区间恒成立,则实数的取值范围是(????)
A. B. C. D.
2.(23-24高三下·河南·开学考试)已知正数满足,若恒成立,则实数的最小值为(???)
A. B. C. D.
3.(2024·福建厦门·一模)已知,,,则下列结论错误的为(????)
A., B.,
C., D.,
4.(2024·广东深圳·模拟预测)已知函数,若,使得成立,则实数m的取值范围为(????)
A. B.
C. D.
5.(2024·北京昌平·二模)已知函数若对任意的都有恒成立,则实数的取值范围是(????)
A. B. C. D.
二、填空题
6.(2024·辽宁·模拟预测)命题“任意,”为假命题,则实数的取值范围是.
7.(23-24高三上·上海闵行·期中)已知函数,,若对任意的,总存在使得成立,则实数的取值范围是.
8.(23-24高三下·湖南岳阳·阶段练习)已知函数在上恒成立,则实数a的取值范围为.
9.(23-24高三上·重庆·阶段练习)已知,,若对,使成立,则实数的取值范围是.
④利用导数研究不等式中的恒(能)成立问题
一、单选题
1.(2024高三·全国·专题练习)若,使得不等式成立,则实数a的取值范围是(????)
A. B.
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