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实战演练05导数中构造函数的妙用
①构造函数比较大小
②构造函数解不等式
③构造函数求最值(范围)
④构造函数证明不等式
一、同构构造函数或者利用作差或作商法构造函数
1.同构是构造函数的一种常用方法.常利用x=ln?
2.对于同时含有指数、对数结构的两个变量的等式,或者含两个变量,且结构相似的等式,比较相关的两个变量间的大小问题时,思考的逻辑路径为先分离变量,再将等式通过合理变形,放缩成结构相同的不等式,然后利用同构函数思想,转化为比较某个函数的两个函数值f(g(x))与f(h(x))的大小,最后利用函数f(x)的单调性,转化为比较自变量g(x)与h(x)的大小,实现将超越函数普通化的目的,达到事半功倍的效果。
3.常见的构造函数有
(1)与和相关的常见同构模型
①,构造函数或;
②,构造函数或;
③,构造函数或.
二、构造函数解不等式解题思路
利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式,要设法将隐性划归为显性的不等式来求解,方法是:
(1)把不等式转化为;
(2)判断函数的单调性,再根据函数的单调性把不等式的函数符号“”脱掉,得到具体的不等式(组),但要注意函数奇偶性的区别.
三、构造函数解不等式解题技巧
求解此类题目的关键是构造新函数,研究新函数的单调性及其导函数的结构形式,下面是常见函数的变形
模型1.对于,构造
模型2.对于不等式,构造函数.
模型3.对于不等式,构造函数
拓展:对于不等式,构造函数
模型4.对于不等式,构造函数
模型5.对于不等式,构造函数
拓展:对于不等式,构造函数
模型6.对于不等式,构造函数
拓展:对于不等式,构造函数
模型7.对于,分类讨论:(1)若,则构造
(2)若,则构造
模型8.对于,构造.
模型9.对于,构造.
模型10.(1)对于,即,
构造.
对于,构造.
模型11.(1)(2)
①构造函数比较大小
一、单选题
1.(23-24高二下·广东佛山·阶段练习)若则(????)
A. B.
C. D.
2.(2024·四川·模拟预测)已知,则的大小关系为(????)
A. B. C. D.
3.(23-24高三上·云南昆明·阶段练习)设,,,设a,b,c的大小关系为(????)
A. B. C. D.
4.(2024高三·全国·专题练习)已知,,,则a,b,c的大小关系是(????)
A. B.
C. D.
5.(2024·陕西安康·模拟预测)已知,则(????)
A. B.
C. D.
6.(23-24高三上·江苏南京·阶段练习)已知,,,则,,的大小关系为(????)
A. B.
C. D.
7.(2024·安徽芜湖·三模)设,则(????)
A. B. C. D.
8.(2024·福建南平·模拟预测)设,则(????)
A. B.
C. D.
②构造函数解不等式
一、单选题
1.(23-24高三上·江苏扬州·期末)已知函数的导数为,对任意实数,都有,且,则的解集为(????)
A. B. C. D.
2.(2024·湖南邵阳·二模)已知函数的定义域为为的导函数.若,且在上恒成立,则不等式的解集为(????)
A. B.
C. D.
3.(2024·吉林·二模)已知函数的定义域为,其导函数满足,则不等式的解集为(????)
A. B.
C. D.
4.(2024高三·全国·专题练习)已知定义在R上的奇函数满足,且当时,,则使得成立的x的取值范围是(????)
A. B.
C. D.
5.(2024·山东聊城·三模)设函数的定义域为,导数为,若当时,,且对于任意的实数,则不等式的解集为(????)
A. B. C. D.
二、填空题
6.(23-24高三上·山东菏泽·阶段练习)若定义在上的函数满足,且,则不等式的解集为
7.(2024·四川成都·模拟预测)已知定义在上的函数的导函数为,当时,,且,则不等式的解集为.
8.(23-24高三下·上海·阶段练习)已知函数是定义在上的偶函数,其导函数为,且当时,,则不等式的解集为.
③构造函数求最值(范围)
一、单选题
1.(23-24高二下·湖北·阶段练习)若存在正实数满足:,则的最大值为(????)
A. B. C.1 D.
2.(23-24高二下·江苏淮安·期末)函数,,若存在正数,,使得,则的最小值为(????)
A. B. C.1 D.
3.(23-24高二下·四川自贡·期中),均有成立,则a的取值范围为(????)
A. B. C. D.
4.(23-24高二下·湖南长沙·开学考试)已知函数,,若成立,则的最小值为(????)
A. B. C. D.
5.(2024·陕西商洛·三模)已知,对任意的,不等式恒成立,则的取值范围为(????)
A. B. C. D.
6.(2024
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