专题18 圆锥曲线综合（10大考向真题解读）--备战2025年高考数学真题题源解密（新高考卷）解析版.docx

专题18圆锥曲线综合

命题解读

考向

考查统计

1.高考对圆锥曲线综合的考查，重点是直线与圆锥曲线关系中的求弦长、面积及弦中点、定点、定值、参数取值范围和最值等问题。

椭圆的标准方程

2024·新高考Ⅰ卷，16（1）

双曲线中的双斜率

2022·新高考Ⅰ卷，21（1）

抛物线的轨迹方程

2023·新高考Ⅰ卷，22（1）

双曲线的标准方程

2022·新高考Ⅱ卷，21（1）

2023·新高考Ⅱ卷，21（1）

椭圆中的弦长公式、三角形面积

2024·新高考Ⅰ卷，16（2）

双曲线与数列的综合知识

2024·新高考Ⅱ卷，19

双曲线中的弦长公式、三角形面积

2022·新高考Ⅰ卷，21（2）

抛物线中的弦长公式

2023·新高考Ⅰ卷，22（2）

双曲线中的斜率问题

2022·新高考Ⅱ卷，21（2）

双曲线中的定直线问题

2023·新高考Ⅱ卷，21（2）

命题分析

2024年高考新高考Ⅰ卷考查了椭圆的标准方程、弦长公式，注重的是基础公式和计算能力，难度适中。Ⅱ卷考查了直线与双曲线、数列知识的交汇，综合能力要求较高，难度较难。但是每问的设计是环环相扣的，可以从第一问的设问中找到第二问的求解思路。圆锥曲线综合是高考数学的核心内容，是考查考生学科素养的重要载体。每年高考卷的必考题，一般是两小一大，是以课程学习情境与探索创新情境为主，注重数学知识的基础性、综合性和应用性的考查，侧重考查考生的运算求解能力和逻辑思维能力。预计2025年高考还是主要考查圆锥曲线中的弦长、三角形（四边形）面积、定值定点问题。

试题精讲

一、解答题

1．（2024新高考Ⅰ卷·16）已知和为椭圆上两点.

(1)求C的离心率;

(2)若过P的直线交C于另一点B，且的面积为9，求的方程．

【答案】(1)

(2)直线的方程为或.

【分析】（1）代入两点得到关于的方程，解出即可；

（2）方法一：以为底，求出三角形的高，即点到直线的距离，再利用平行线距离公式得到平移后的直线方程，联立椭圆方程得到点坐标，则得到直线的方程；方法二：同法一得到点到直线的距离，再设，根据点到直线距离和点在椭圆上得到方程组，解出即可；法三：同法一得到点到直线的距离，利用椭圆的参数方程即可求解；法四：首先验证直线斜率不存在的情况，再设直线，联立椭圆方程，得到点坐标，再利用点到直线距离公式即可；法五：首先考虑直线斜率不存在的情况，再设，利用弦长公式和点到直线的距离公式即可得到答案；法六：设线法与法五一致，利用水平宽乘铅锤高乘表达面积即可.

【详解】（1）由题意得，解得，

所以.

（2）法一：，则直线的方程为，即，

，由（1）知，

设点到直线的距离为，则，

则将直线沿着与垂直的方向平移单位即可，

此时该平行线与椭圆的交点即为点，

设该平行线的方程为：，

则，解得或，

当时，联立，解得或，

即或，

当时，此时，直线的方程为，即，

当时，此时，直线的方程为，即，

当时，联立得，

，此时该直线与椭圆无交点.

综上直线的方程为或.

法二：同法一得到直线的方程为，

点到直线的距离，

设，则，解得或，

即或，以下同法一.

法三：同法一得到直线的方程为，

点到直线的距离，

设，其中，则有，

联立，解得或，

即或，以下同法一；

法四：当直线的斜率不存在时，此时，

，符合题意，此时，直线的方程为，即，

当线的斜率存在时，设直线的方程为，

联立椭圆方程有，则，其中，即，

解得或，，，

令，则，则

同法一得到直线的方程为，

点到直线的距离，

则，解得，

此时，则得到此时，直线的方程为，即，

综上直线的方程为或.

法五：当的斜率不存在时，到距离，

此时不满足条件.

当的斜率存在时，设，令，

，消可得，

，且，即，

，

到直线距离，

或，均满足题意，或，即或.

法六：当的斜率不存在时，到距离，

此时不满足条件.

当直线斜率存在时，设，

设与轴的交点为，令，则，

联立，则有，

，

其中，且，

则，

则，解的或，经代入判别式验证均满足题意.

则直线为或，即或.

2．（2024新高考Ⅱ卷·19）已知双曲线，点在上，为常数，．按照如下方式依次构造点，过作斜率为的直线与的左支交于点，令为关于轴的对称点，记的坐标为.

(1)若，求；

(2)证明：数列是公比为的等比数列；

(3)设为的面积，证明：对任意的正整数，.

【答案】(1)，

(2)证明见解析

(3)证明见解析

【分析】（1）直接根据题目中的构造方式计算出的坐标即可；

（2）根据等比数列的定义即可验证结论；

（3）思路一：使用平面向量数量积和等比数列工具，证明的取值为与无关的定值即可.思路二：使用等差数列工具，证明的取值为与无关的定值即可.

【详解】（1）

由已知有，故的方程为.

当时，过且斜率为的直线为，与联立得到.

解得或，所以该直线与的不同于的交点为，该点显然在的左支上.

故，从而，.