2023-2024学年甘肃省兰州市皋兰一中高一（下）期末数学试卷（含答案）.docx

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2023-2024学年甘肃省兰州市皋兰一中高一（下）期末数学试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知复数a?2ii=b+3i，其中a，b∈R，i是虚数单位，则ab=(????)

A.?6 B.?1 C.1 D.6

2.中国古代科举制度始于隋而成于唐，兴盛于明、清两朝.明代会试分南卷、北卷、中卷，按11：7：2的比例录取，若某年会试录取人数为200，则北卷录取人数为(????)

A.70 B.20 C.110 D.150

3.已知正六边形ABCDEF，则AC+BD?FD=

A.BC B.AE C.BE D.AC

4.圆台上、下底面半径分别是1，2，高为3，这个圆台的体积是(????)

A.733π B.23

5.在△ABC中，三边长分为3，7，8，则最大角和最小角之和是(????)

A.34π B.23π C.

6.小张某一周的总开支分布如图①所示，该星期的食品开支如图②所示，则以下说法正确的是(????)

A.储蓄比通信开支多50元 B.日常开支比食品中的其他开支少150元

C.娱乐支出为100元 D.肉类开支占总开支的1

7.已知平行四边形ABCD的对角线交于点O，E为AO的中点，若AE=λAB+μAD，则

A.12 B.13 C.14

8.在正方体ABCD?A′B′C′D′中，O为底面ABCD的中心，P为棱AA′的中点，则下列说法正确的是(????)

A.A′C′⊥OP B.A′B⊥OP C.AB′⊥OP D.B′C⊥OP

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.如图，在4×4方格中，向量a，b，c的起点和终点均为小正方形的顶点，则(????)

A.|a|=|c|

B.2a⊥3

10.下列各式中，值为12的是(????)

A.sin5π6 B.2sin?15°cos?15° C.

11.已知正四面体ABCD的各棱长均为2，下列结论正确的是(????)

A.正四面体ABCD的高为263

B.正四面体ABCD的体积为223

C.正四面体ABCD的外接球的半径为

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知(1+2i)z?=5?5i(i是虚数单位)，则z

13.已知向量a=(m,?3)，b=(?1,5)，若a⊥b，则实数

14.某地为了更好地开发当地的旅游资源，决定在两座山头建一条索道，现测得两座山高分别为MC=160米，NB=100米.从山脚下的A处测得M处的仰角为53°，N处的仰角为45°，∠MAN=45°，点A，B，C在同一水平面内，MC⊥AC，NB⊥AB，则两座山的山顶M，N之间的距离是______米.(参考数据：sin53°≈45，cos53°≈3

四、解答题：本题共4小题，共62分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题13分)

已知0απ，cosα=?55．

(1)求sin2α，cos2α的值；

(2)求sin

16.(本小题15分)

如图，在三棱锥P?ABC中，PA⊥底面ABC，PB⊥BC，D为BP的中点，PA=AB．

(1)求证：BC⊥平面PAB；

(2)求证：AD⊥平面PBC．

17.(本小题17分)

在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，已知sinB=2Sb2?c2．

(1)证明：b2c=a2

18.(本小题17分)

如图，在四棱锥B?PACQ中，BC⊥平面PAB，且在四边形PACQ中，PQ//AC，∠PAC=π2，二面角B?AP?Q的大小为π3，且AP=AB=PQ=1．

(1)点E为BC的中点，证明：QE//平面PAB；

(2)求直线BQ与平面PACQ

参考答案

1.D?

2.A?

3.B?

4.A?

5.B?

6.C?

7.A?

8.C?

9.BCD?

10.ABD?

11.AB?

12.3?

13.?15?

14.100

15.解：(1)∵0απ，cosα=?55，

∴sinα=1?cos2α=25

16.证明：(1)∵AP⊥平面ABC，BC?平面ABC，

∴AP⊥BC，

∵BC⊥AP，BC⊥BP，AP∩BP=P，AP，BP?平面PAB，

∴BC⊥平面PAB；

(2)∵BC⊥平面PAB，AD?平面PAB，

∴BC⊥AD，

∵△PAB为等腰直角三角形，D为斜边PB的中点，

∴AD⊥PB，

∵AD⊥PB，AD⊥BC，BP∩BC=B，BP，BC?平面PBC，

∴AD⊥平面PBC．?

17.(1)证明：因为sinB=2Sb2?c2，

所以sinB=acsi